Resum dels conceptes bàsics de Probabilitat.

Experiments aleatoris i deterministes

Un experiment aleatori és aquell del què prèviament no en podem predir el resultat, en cas contrari parlem d'experiments deterministes.

Espai mostral i tipus d'esdeveniments

En considerar un experiment aleatori li diem espai mostral al conjunt de tots els resultats possibles, normalment el representem amb la lletra Ω o la lletra E.

Un esdeveniment és un subconjunt de l'espai mostral.

Els esdeveniments elementals estan formats per un sol succés.

Un esdeveniment és impossible si no passa mai.

Un esdeveniment és segur si passa sempre.

Donat un esdeveniment A, diem esdeveniment contrari o complementari a aquell que només es produeix quan no passa A, s'identifica habitualment amb una barra a dalt $\overline A$

Exemple

Considerem l'experiment aleatori de tirar un dau de parxís i observar la cara que queda visible.

En aquest cas l'espai mostral seria Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} i aquest seria el succés segur.

Els esdeveniments elementals serien cadascun dels 6 resultats {1}; {2}; {3}; {4}; {5}; {6}

Si li diem A al succés A={que surti un nombre parell}, està format pels esdeveniments elementals A={2, 4, 6}

En aquest cas  seria l'esdeveniment contrari o complementari de A.

Un esdeveniment impossible seria per exemple C={que surti 7}

Operacions amb esdeveniments

Donats dos esdeveniments A i B tenim

Unió de A i B= A U B és l'esdeveniment que es dóna quan succeeix A o B o tots dos.

Intersecció de A i B :  és l'esdeveniment que es dóna quan es produeixen A i B simultàniament.

Dos successos són incompatibles, si no poden succeir a la vegada, és a dir, si la seva intersecció és buida.

En alguns exercicis és bo fer-se un dibuix dels esdeveniments en forma de Diagrama de Venn com a la imatge anterior.

La intersecció queda determinada per la zona morada.

La unió queda representada per la suma de la zona salmó, morada, i blava.

Exemple 

Seguint amb l'exemple del dau, si li diem A i B als següents successos:

A={2, 4, 6}  i B={1,3, 4, 6}

Llavors

Llei empírica de l'atzar: definició experimental de la probabilitat

Quan repetim un experiment aleatori anomenem freqüència relativa de l'esdeveniment A al nombre de vegades que es dóna el succés.  f(A)

Observem que f(A) sempre serà un nombre entre 0 i 1.

Segons la llei empírica de l'atzar si augmentem el nombre de vegades que repetim l'experiment , la freqüència relativa de l'esdeveniment A tendeix a fer-se constant i aquest valor li diem probabilitat de A i el representem P(A).

Aquesta llei és coneguda com a Llei dels grans nombres.

Fixeu-vos en aquest applet fet amb Geogebra per Fabio Martín.

Podeu veure la simulació de l'experiment que consisteix en tirar un dau perfecte moltes vegades seguides. A la taula de la dreta podeu anar comprovant els resultats obtinguts (les vegades que surt cada cara i llurs freqüències relatives i a l'esquerra l'alçada de les barres indica la freqüència que s'ha donat cada valor de l'1 al 6. 

Atureu el nombre de tirades  (clicant el botó de la cantonada inferior esquerra) per exemple a 10, 25, 50, 100, 200, 300, ... Observeu què passa. Compareu les freqüències que es van obtenint amb les probabilitats teòriques.

Si no visualitzeu bé aquest applet des d'aquesta pàgina clique aquí.

Probabilitat: definició axiomàtica

Anem a donar una definició matemàticament més rigorosa de la probabilitat.
La probabilitat es pot definir com una funció
P:Ω------->[0,1] de manera que a cada esdeveniment de l'espai mostral  li correspon un nombre entre 0 i 1.
Així per cada esdeveniment A definirem P(A), i ho llegirem la probabilitat de A com un nombre entre 0 i 1 que ens mesura el grau de certesa que es produeixi A.
Molt habitualment aquestes probabilitats es multipliquen per 100 i d'aquesta manera queden expressades en %. 

Propietats de la probabilitat

per a tot esdeveniment A

• • P(A)=0 si i només si A és un esdeveniment impossible
  • P(A)=1 si i només si A és un esdeveniment segur
  • P(Ω)=1
  • P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
  • 

La Regla de Laplace

Quan un experiment és regular, és a dir: tots els esdeveniments elementals tenen la mateixa probabilitat d'ocórrer diem que són equiprobables.
En aquest cas, per calcular la probabilitat que succeeixi un cert esdeveniment A, és suficient comptar el nombre d'esdeveniments elementals que componen l'esdeveniment A (casos favorables) i dividir-ho entre el nombre d'esdeveniments elementals possibles que té l'experiment.

Observació: per a poder aplicar aquesta llei és necessari que tots els esdeveniments elementals tinguin la mateixa probabilitat d'ocórrer.

Per tant, es tracta de comptar resultats favorables, comptar resultats possibles i fer-ne la divisió.

En ocasions, és molt útil usar els esquemes de la teoria de conjunts (els anomenats diagrames de Venn) per fer aquests recomptes.

Exemple: el dau

Tirem un dau de parxís que suposem perfecte i en mirem la cara que queda visible. Anem a calcular:

a) Quina és la probabilitat que surti un nombre parell?

b) Quina és la probabilitat que surti un nombre més gran que 2?

Les possibilitats de l'experiment, és a dir l'espai mostral seria Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} té per tant 6 elements. Si suposem el dau perfecte la probabilitat de cada cara és la mateixa. Per tant estem en condicions d'aplicar la Llei de Laplace.

a) ens cal comptar els casos favorables a que surti un nombre parell. En aquest cas tenim:
    A={2, 4, 6} l'esdeveniment A té 3 casos favorables.
    Aplicant la Llei de Laplace

b) ens cal comptar els casos favorables a que surti un nombre més gran que 2.
    En aquest cas tenim:B={3, 4, 5, 6} l'esdeveniment A té 4 casos favorables.

    Aplicant la Llei de Laplace

Tècniques de recompte

Com hem vist, la regla de Laplace ens demana comptar casos per calcular probabilitats. De vegades aquest recompte és molt senzill, altres vegades però no és tan fàcil. Per això, hem de tenir tècniques de recompte que ens ajudin en aquest procés.

Disposem de diversos mètodes per calcular el nombre total d’agrupacions possibles:

• Els diagrames d’arbre
• Les fórmules combinatòries

La combinatòria és la part de les matemàtiques que estudia els problemes que es plantegen quan volem conèixer el nombre d’agrupacions o configuracions que es poden formar a partir d’un determinat col·lectiu d’elements (conjunt d’objectes, persones...). Les dues característiques que haurem de tenir en compte a l’hora d’estudiar els diferents tipus d’agrupacions possibles són:

• Els elements del conjunt que hauran d’aparèixer en cada configuració
• L’ordre dels elements en les configuracions

Exemple 1: les lletres

Tenim en una bossa les 25 lletres de l'alfabet i n'agafem una a l'atzar.
a) Amb quina probabilitat la lletra extreta serà de la paraula Xeringa?
b) Amb quina probabilitat la lletra pertany a les paraules XERINGA i PILOTA alhora?
c) Probabilitat que la lletra no estigui ni en la paraula XERINGA ni el la paraula PILOTA?

Resolem:

Fixeu-vos a la imatge de l'esquerra que fer-nos un dibuix de diagrama de Venn és molt útil en aquest cas, perquè només hem de comptar quantes lletres estan en la situació que es demana cada vegada de totes les possible.
a)

b)

c)
Observa en aquest darrer cas que com hi ha 11 lletres que pertanyen almenys a una d'aquestes paraules (suma les lletres del conjunt groc, del verd fosc i del verd clar) n'hi ha 14 (25 -121 que no hi pertanyen que correspondrien a la imatge al conjunt blau.

Experiments compostos i diagrames en arbre

Quan es combinen experiments simples s'obtenen experiments compostos.

Per exemple: llançar dos daus, llançar tres monedes, treure 3 cartes d'una baralla, són experiments compostos.

A l'hora de fer el recompte dels casos favorables pel càlcul de les probabilitats pot ser molt útil esquematitzar la situació fent ús dels diagrames en arbre.

En molts problemes de probabilitat fer-se un bon esquema o diagrama és definitiu pel càlcul final.

Per fer el diagrama s'ha de tenir en compte:

Tot i que en un inici pugui semblar complicat fer aquest tipus d'esquema només es tracta de practicar-ho. Aquests diagrames són especialment útils per fer exercicis on calgui aplicar el Teorema de les probabilitats totals i/o el teorema de Bayes que explicarem més endavant. Però tampoc en tots els exercicis de probabilitat fer un diagrama en arbre és el més aconsellable, si els esdeveniments tenen intersecció aquest no seria un bon esquema.

Exemple de recompte amb ús d'arbre

En un restaurant ens deixen triar entre 3 primers plats, 2 segons i 4 postres. Volem saber de quantes formes diferents els podem escollir per fer un menú de 1r plat, 2n plat i postre.

Podem escollir entre 3 primers plats; per a cada primer plat, poden escollir entre 2 segons; i per a cada segon, poden escollir entre 4 postres. Podem fer el recompte de la manera següent:

• Suposem que els 3 primers plats són: a, b i c
• Suposem que els 2 segons plats són: d i e
• Suposem que els 4 postres són: f, g, h i i

En aquest i molts altres exercici és recomanable fer un diagrama en arbre que expliqui l'experiment.

En aquest diagrama les tres primeres branques indiquen les possibilitats del primer plat. Un cop fixat el primer plat, surten dues  branques de cada camí, aquestes noves branques indiquen com podem triar el segon plat. I encara, a partir del què arribem surten 4 noves branques que esquematitzen la tria del postre.

En resum en aquest arbre, de cadascuna de les 3 branques inicials, en surten 2 branques i, de cadascuna d'aquestes 2, en surten 4. Per tant, hi haurà, encara que no les dibuixem totes, 3·2·4 = 24 branques finals, que vol dir que hi haurà 24 menús possibles.

Fórmules de combinatòria

• Variacions amb repetició
  
• Variacions sense repetició
  

Agrupacions	Tipus	Importa l'ordre?	Es poden repetir?	Elements per grup	Elements disponibles	A cada agrupació	Fórmula
Variacions	sense repetició	SI	NO	m	n	m<n
	amb repetició		SI			m<n , m>n
Permutacions	sense repetició	SI	NO			m=n
	amb repetició		SI
Combinacions	sense repetició	NO	NO			m<n
	amb repetició		SI

Aquesta taula la podem també esquematitzar amb aquest mapa conceptual, per saber quina fórmula de recompte cal utilitzar en cada tipus d'esdeveniments.

Com calcular nombres combinatoris

De vegades, per fer el recompte de casos haurem de fer servir nombres combinatoris.

Quan escrivim no volem dir 15 dividit per 3 , sinó que volem dir el nombre combinatori 15 sobre 3 i aquest nombre ens diu de quantes maneres diferents podem triar 3 elements (sense repetir-los i sense que importi l'ordre) entre 15 elements possibles.

Per exemple en una classe de 15 alumnes volem triar-ne tres per fer una comissió de treball. De quantes maneres podem fer aquesta tria?

Observa:

• tenim 15 elements i volem fer grups de 3
• no es poden repetir, perquè aleshores no seria una comissió de tres
• no importa l'ordre perquè dins de la comissió els tres individus tindran el mateix rol.

Per tant estem davant d'una combinació sense repetició.

Com es calcula el nombre combinatori?

on el símbol d'admiració es llegeix factorial i vol dir el següent: n!=n·(n-1)·(n-2)·····2·1

Per exemple: 6! = 6·5·4·3·2·1

Les calculadores científiques calculen directament aquests nombres combinatoris. Trobareu una tecla que en la part superior té escrit nCr (possiblement sigui la teca ÷, però pot variar segons el model de la calculadora)

Si es vol calcular  amb la calculadora faríem 15 (shift) nCr 3= i obtindrem : 455, proveu-ho.

Consulteu el manual de la vostra calculadora, si observeu que el funcionament del vostre model no és com el què s'explica.

Exemples de recomptes

Exemple 1

Disposem de 4 llapis de colors diferents: vermell, verd, blau i groc.

Volem fer dibuixos de 3 franges verticals, cada franja d'un sol color i sense repetir cap color, quants dibuixos diferents podrem fer?

Exemple 2

Disposem de 4 sucs de fruites: maduixa, préssec, raïm i taronja. Els volem barrejar de 2 en 2 per fer diferents còctels de fruites (sense alcohol, eh?). De quantes maneres diferents ho podem fer?

Exemple 3

Tenim 3 tampons amb les lletres a, m i u. Volem saber quantes paraules de 4 lletres podem estampar amb aquests 3 tampons, tinguin o no significat. Cal tenir en compte que en una paraula hi poden haver lletres repetides.

Exemple 4

A casa tenim tres animals: un gat, un ocell i una tortuga. Volem saber de quantes maneres diferents podem escriure una llista dels noms de les nostres mascotes.

Seguint el mapa conceptual explicat abans aquests exemples corresponen a:

• exemple 1→ Variacions sense repetició
  
• exemple 2→ Combinacions sense repetició  
• exemple 3→ Variacions amb repetició
  
• exemple 4 → Permutacions sense repetició
  

Quant tardarien 13 persones en ocupar totes les posicions possibles en una fila? "Tota una vida"

Els nombres factorials n! hem dit que es calculen multiplicant el nombre per tots els seus anteriors fina a l'1, és a dir:

No és difícil d'imaginar que aquests nombres es van fer cada cop més i més grans, però us heu plantejat fins a quin punt?

En aquest vídeo fet per un grup d'alumnes de l'IES Pere Fondevila, de Gironella ho podeu veure d'una forma ben simpàtica. No us el perdeu! (dura 3')

Quant tardarien 13 persones en ocupar totes les posicions possibles en una fila? 13! "Tota una vida..."

Probabilitat condicionada

De vegades quan calculem una probabilitat, partim ja d'una informació prèvia, és a dir sabem que es donen certes condicions.

En aquesta cas parlem de probabilitat condicionada.

És a dir, si volem calcular la probabilitat d'un cert esdeveniment A però ja sabem que ha passat un cert esdeveniment B li diem probabilitat de A condicionada a B i això ho notem així: .

(Observem que a dalt escrivim el succés del qual volem calcular la probabilitat  i a baix el succés que ja sabem que es dóna , "la condició", escriure-ho bé és molt important)

Per calcular la probabilitat condicionada tenim:

Observem que al numerador escrivim la probabilitat de que passin els dos successos alhora, la intersecció,  i al denominador la probabilitat de la condició.

D'aquesta relació n'obtenim una forma de calcular la probabilitat de la intersecció.

Com la intersecció de A i B és la mateixa que la de B i A tenim que    i això ens permet invertir les condicions si cal , segons l'enunciat.

                  

Independència

Direm que dos successos són independents si el fet que passi un d'ells no afecta en absolut a que passi l'altre. 

Lligant això amb la probabilitat condicionada, si dos successos són independents, la probabilitat de que ocorri un d'ells no depèn de cap condició de l'altra, és per això que en aquest cas P(A/B)= P(A)   o P(B/A)= P(B).
Llavors la probabilitat de la intersecció és producte de probabilitats. Observem com quedaria la fórmula condicionada d'abans.


   

Exemple:

Considerem dos experiments que es fan alhora:
llancem una moneda (cara-creu) i llancem un dau de parxís, suposem els dos objectes perfectes. Fem algunes preguntes sobre aquests dos experiments.

• Quina serà la probabilitat de treure cara en tirar la moneda?

• Quina serà la probabilitat que surti un 1 en el dau?
• 
  
• Quina és  la probabilitat de treure cara a la moneda un 1 al dau?
  

• Quina és la probabilitat de que surti un 1 al dau si sabem que a la moneda ha sortir cara?
  

Teorema de la probabilitat total

Siguin A_1,  A₂ , ...., A_n  un conjunt d'esdeveniments complint :

• són disjunts dos a dos, és a dir tenen intersecció buida entre ells

• i la unió d'ells és tot l'espai mostral.

Aleshores:

Teorema de Bayes

Siguin A_1,  A₂ , ...., A_n  un conjunt d'esdeveniments complint :

• són disjunts dos a dos, és a dir tenen intersecció buida entre ells

• i la unió d'ells és tot l'espai mostral.

Aleshores:

Nota: En els exercicis on hem d'utilitzar aquests teoremes, sol ser convenient fer un esquema de l'experiment en forma de diagrama d'arbre. Llavors en general la pregunta s'acaba calculant a partir de sumar la probabilitat de les branques que verifiquen el que volem. Serà important identificar què vol dir cada branca i utilitzar una bona notació matemàtica a l'hora d'aplicar els teoremes.

Cal notar que el teorema de Bayes s'ha d'aplicar quan ens demanin probabilitats condicionades, és a dir que coneixem una condició que es dóna, (sabem una condició prèvia).

Exemple 1: la moneda

Tirem dues vegades una moneda trucada. La moneda té dues cares diferenciades, denotem-les (o  i + ) i observem quina cara queda visible en cada tirada. Sabem que la probabilitat de cara és 0,7 i la de creu és 0,3. (P(o)= 0,7 i la P(+)= 0,3)

a) Quina és la probabilitat que hagi sortit o les dues vegades?

b) Quina és la probabilitat que hagi sortit una vegada o i l'altre +, en qualsevol ordre?

Ens ajudarem d'un diagrama per respondre.

En el diagrama expressarem cadascuna de les dues tirades i damunt les branques hi posarem la probabilitat associada a cada esdeveniment.

---

a) Tenim un sol camí que indica haver obtingut o a les dues tirades. que seria el primer.

Per obtenir la probabilitat només hem de multiplicar les probabilitats de cada branca. Les dues tirades en aquest cas són independents.

P(o-o)= P(o)·P(o) =0,7·0,7= 0,49

R: Per tant amb probabilitat del 49% obtindrem o a les dues tirades.

    P(una o i una +) = P(o-+) + P(+-o) = P(o)·P(+) + P(+)·P(o) = 0,7·0,3 + 0,3·0,7 = 0,21+0,21 =0,42

    R: Amb probabilitat del  42%  obtindrem una o i una + entre les dues tirades.

És important veure en aquest cas que les dues tirades són independents i per això la probabilitat que passin dues coses és producte de probabilitats.

Exemple 2: l'oposició

El temari d'una oposició consta de 64 temes. Els opositors han d'escollir un tema entre tres que es trien a l'atzar.
Si un estudiant ha preparat 24 temes. Es demana:
a) Quina és la probabilitat que l'estudiant hagi estudiat els tres temes que surten?
b) Quina és la probabilitat que li surti algun dels temes estudiats?

---

1r. Intentem visualitzar l'experiment de forma més clara
Com es trien 3 dels 64 temes a l'atzar, suposem que tenim boles amb nombres de l'1 al 64 dins d'una bossa i en fem una darrera l'altra tres extraccions. En un principi a la bossa té 64 boles de les quals  24 corresponent a temes que s'ha preparat l'estudiant i 40 de temes no preparats. 
A la primera extracció hi ha una probabilitat de que sigui una bola corresponent a un tema estudiat (E) i una probabilitat de  que l'estudiant no l'hagi estudiat (NE).

Per la segona extracció queden 63 boles a la bossa, però la probabilitat que surti un dels temes estudiats dependrà de que ha passat en la primera extracció.

Així, si la primera bola corresponia a un dels temes preparats, dins de la bossa en aquest moment en queden 23 amb temes que ha estudiat i 40 que no.

Per contra, si la primera bola que havia sortit corresponia a un tema que  l'estudiant no havia preparat, segueixen els 24 temes E dins la bossa i només 39 que no ha estudiat.

Procediríem anàlogament amb la tercera extracció. Ja només quedarien 62 boles a la bossa i la probabilitat de que la tercera extracció correspongui a un tema estudiat o no dependrà ara de les dues extraccions anteriors. Això ja comença a complicar-se, per tant convé fer-nos un esquema (en arbre) que representi aquesta situació i la simplifiqui..

 Les fletxes indiquen els possibles camins. Damunt de cada fletxa tenim la probabilitat que hi ha que passi el que s'indica.

a) Per saber la probabilitat que els tres temes escollits els hagi estudiat només tenim la combinació EEE, que queda representada amb la branca superior assenyalada de color vermell.
A nivell pràctic només cal multiplicar les tres probabilitat que hi ha damunt d'aquestes fletxes, però cal que escrivim cada cosa amb una notació matemàtica correcta. Observem què vol dir cada nombre. Per exemple el 23/63 és una probabilitat condicionada, parteix de que ja sabem que en la primera extracció ha sortit un dels temes E.

És a dir hi ha una probabilitat d'aproximadament el 5% que els 3 temes que surten l'estudiant els hagi estudiat.

b) Per calcular que algun dels tres temes els hagi estudiat tindríem molts camins, de fet tots menys un que seria NE-NE-NE, per tant serà més fàcil calcular el complementari del què ens demanen. 

 1-P(NE-NE-NE).
El camí inferior, que hem assenyalat en negre és el que correspon a la situació NE-NE-NE. Altra cop al final ens tocarà multiplicar branques d'un camí, però és important escriure amb bona notació matemàtica cada cosa. Fixem-nos bé que les segones i terceres branques corresponen a probabilitats condicionades.

P(hagi estudiat algun tema) = 1- P(no hagi estudiat cap dels tres)=  1- 0,237135= 0,762864

 

És a dir, si l'opositor ha estudiat 24 temes té una probabilitat aproximadament del 76% que li surti algun dels temes que ha preparat.

Exemple 3: les fàbriques

Una important multinacional fabrica el mateix model de televisors en dues de les seves fàbriques. A la fàbrica A es produeixen el 60% del total i en la fàbrica B la resta. En el control de qualitat es comprova que de la fàbrica A el 5% de TV surten defectuosos i en B el 10%.

Si un client compra un TV d'aquest model. Es demana:
a) Quina probabilitat hi ha que sigui defectuós i sigui de la fàbrica A?
b) Quina probabilitat hi ha que no sigui defectuós?
c) Quina probabilitat hi ha que sigui defectuós?
d) Si hem comprat un televisor i és defectuós, amb quina probabilitat ha estat fabricat a la A.

---

Fixeu-vos que aquest podria ser l'esquema en arbre: Abans de començar a respondre observem com escriuríem amb notació matemàtica les dades de l'enunciat:

P(A)= 0,6 ( el 60% dels TV són fabricats a la fàbrica A)

P(B) =0,4 (la resta, és a dir el 40% són fabricats a la factoria B).

P(Def/A) =0,05 (aquesta és una probabilitat condicionada, el 5% dels TV de la factoria A són defectuosos. Ja sabem que són aparells de A i per tant és una condició).

P(Def/B) =0,1(aquesta també és una probabilitat condicionada, el 10% dels TV de la factoria B són defectuosos. Ja sabem que són aparells de B i per tant és una condició).

Com les branques que surten d'un mateix punt sempre sumen 1, si coneixem una de les probabilitats, per complementari sabem l'altre.

Fer l'esquema i entendre això és bàsic per respondre a allò que se'ns demana:

a) P(Defectuós i de A)

Observem que la i ens indica que han de passar les dues coses. 

De forma ràpida es tractarà de multiplicar el camí que arriba a defectuós per la fàbrica A, però hem de procurar escriure amb bona notació matemàtica, així que observeu:

       Hi ha una probabilitat del 3% que el televisor comprat sigui defectuós i s'hagi fabricat a la fàbrica A.

 b) P(No defectuós) 

Aquí hem de sumar tots els camins per on s'arriba a no defectuós. En realitat matemàticament estem aplicant el teorema de les probabilitats totals.

c) P(Defectuós)

Podríem procedir com a l'apartat b) sumant totes les branques ara que arribin a defectuós, però tenint en compte que ja hem calculat P(No defectuós) és més ràpid fer el complementari del que acabem de calcular
    P(Defectuós) = 1- P(apartat no defectuós) = 1-0,93 = 0,07 => 7%

d) P(A/Def)

Observeu que estem davant d'una pregunta condicionada. El "Si..." inicial ens denota que és una condició que es dóna. Ja sabem que el TV és defectuós, per tant això és una condició que ja passa.
Ho escriuríem així:   (sempre la condició a baix i el què volem a dalt). 

Aquí per tant ens tocarà aplicar el Teorema de Bayes. Tant el numerador com el denominador ja els tenim calculats en apartats anteriors i els aprofitem.
  
   La probabilitat que un televisor defectuós hagi estat fet a la fàbrica A és aproximadament d'un 43%.

Exemple 4: la urna

Nota: en realitat s'ha aplicat el teorema de les probabilitats totals, però si hem sabut fer un bon esquema d'arbre observem que l'exercici es redueix en sumar totes les branques amb les que arribem a segona bola vermella. (aquest truc el podrem aplicar en gairebé tots els problemes on s'hagi d'aplicar el T. Prob. Totals).

Exemple 5: la urna 2

NOTA:

Truc per saber que es tracta d'aplicar el teorema de Bayes: a l'enunciat ens donen una condició que ja sabem que passa, en aquest cas "si la segona bola extreta resulta vermella".

Observem el si que indica condició.

Fer un bon esquema en arbre és molt important perquè aleshores l'aplicació del teorema es redueix a:

• denominador de la fracció: es sumen totes les branques en les que s'arribi al que es demana (en aquest cas les tres branques en les que la primera bola és negra).
• numerador: de les branques anteriors ,només posem la branca que compleix la condició (en aquest cas que la segona bola és vermella).
• recordeu però que és important utilitzar una bona notació matemàtica sempre.