Successions: Límit d'una successió

El límit d'una successió

El límit d'una successió ens indica la seva tendència, és a dir si quan agafem termes amb índex més i més grans de la successió aquests tendeixen a cert valor. No totes les successions tenen límit. Veiem algunes definicions i exemples. Això ho relacionarem en el proper capítol amb el límit de funcions,

Successions convergents

Quan els termes d'una successió es van apropant a un cert valor L, prenent valors de n suficientment grans, diem que L és el límit de la successió i matemàticament ho escrivim així:

$Limes als n rechtspfeil unendlichkeitszeichen von a unterer Index n gleich L$

I ho llegim dient que la successió té límit L o bé que la successió tendeix a L. Aquestes successions que tenen per límit un nombre real s'anomenen convergents.

Les successions creixents i afitades superiorment són convergents.

Les successions decreixents i afitades inferiorment també són convergents.

Exemple

Considerem la successió $a unterer Index n gleich Zähler 2 n geteilt durch Nenner n plus 1 Bruchergebnis$

Calculem alguns termes de la successió per veure si tendeixen cap a cert valor
$a unterer Index 1 gleich Zähler 2 mal 1 geteilt durch Nenner 1 plus 1 Bruchergebnis gleich 2 geteilt durch 2 gleich 1$

$a unterer Index 2 gleich Zähler 2 mal 2 geteilt durch Nenner 2 plus 1 Bruchergebnis gleich 4 geteilt durch 3 gleich 1 Komma 3 mit obere Klammer darüber$

$a unterer Index 3 gleich Zähler 2 mal 3 geteilt durch Nenner 3 plus 1 Bruchergebnis gleich 6 geteilt durch 4 gleich 3 geteilt durch 2 gleich 1 Komma 5$

Calculem termes de la successió grans

$a unterer Index 10 gleich Zähler 2 mal 10 geteilt durch Nenner 10 plus 1 Bruchergebnis gleich 20 geteilt durch 11 gleich 1 Komma 81 mit obere Klammer darüber$

$a unterer Index 100 gleich Zähler 2 mal 100 geteilt durch Nenner 100 plus 1 Bruchergebnis gleich 200 geteilt durch 101 gleich 1 Komma 98019802$

> $a unterer Index 1000 gleich Zähler 2 mal 1000 geteilt durch Nenner 1000 plus 1 Bruchergebnis gleich 2000 geteilt durch 1001 gleich 1 Komma 998001998$

Observem que aquests valors van acostant-se a 2. Per tant podem dir que la successió és convergent i el límit és 2.

$Limes als n rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler 2 n geteilt durch Nenner n plus 1 Bruchergebnis gleich 2$

Successions divergents

Ens trobem de vegades amb successions que van creixent de manera que sempre podríem aconseguir un terme tan gran com volguéssim, o per contra decreixent i es van fent tan petits com volem a mida que augmentem el valor de la n. Aquests tipus de successions diem que són divergents.

Llavors ho escrivim així:

$Limes als n rechtspfeil unendlichkeitszeichen von a unterer Index n gleich plus unendlichkeitszeichen$ o $Limes als n rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von a unterer Index n gleich minus unendlichkeitszeichen$

Exemple:

$a unterer Index n gleich 2 n$

a₁=2, a₂=4, a₃=6,.....,a₁₀=20, ....., a₁₀₀=200,...................., a₁₀₀₀=2000, .........................
Observeu que sempre podríem trobar un terme prou gran si anéssim donant valors cada cop més grans a la n. Aquesta successió és divergent i podríem dir en aquest cas que tendeix a $plus unendlichkeitszeichen$ .

$b unterer Index n gleich minus 2 n$

b₁=-2, b₂=-4, b₃=-6,....., b₁₀=-20, ....., b₁₀₀=-200,...................., b₁₀₀₀=-2000, .........................
Observeu que sempre podríem trobar un terme prou petit si anéssim donant valors cada cop més grans a la n. Aquesta successió és divergent i podríem dir en aquest cas que tendeix a $minus unendlichkeitszeichen$

Successions oscil·lants

Les successions oscil·lants no tenen límit, no són ni convergents ni divergents.

Exemples

$a unterer Index n gleich linke klammer minus 1 rechte klammer hoch n mal 2 n gleich geschweifte Klammern öffnen minus 2 Komma Leerzeichen 4 Komma Leerzeichen minus 6 Komma Leerzeichen 8 Komma Leerzeichen minus 10 Komma Leerzeichen 12 Komma....... Leerzeichen geschweifte Klammern schließen$

Aquesta successió va alternant un terme positiu que cada vegada és més gran amb un de negatiu que cada vegada és més petit, per tant no s'acosta a cada valor, no té límit.

$b unterer Index n gleich geschweifte Klammern öffnen 0 Komma Leerzeichen 1 Komma Leerzeichen 0 Komma Leerzeichen 1 Komma Leerzeichen 0 Komma Leerzeichen 1 Komma Leerzeichen 0 Komma Leerzeichen 1...... Leerzeichen geschweifte Klammern schließen$

Aquesta successió va alternant 0 i 1 per tant no podem dir que s'acosti a cap valor, no té límit.