Successions
Resum conceptes bàsics del lliurament 4
Les successions
Una successió és un conjunt format per infinits nombres reals ordenats. Cada nombre s'anomena terme de la successió i es representen per una lletra minúscula amb un subíndex que indica el lloc que ocupa dins de la successió.
Successió: a1, a2, a3, a4, .........,an.....
an representa l'enèsim terme de la successió
(a1 representa el primer terme de la successió, a2 el segon terme de la successió,.....)
Atenció: Una successió té infinits termes
Exemples
-Successió dels nombres naturals en ordre creixent: {1,2,3,4,5,...}
-Successió dels nombres senars en ordre creixent: {1,3,5,7,9...}
-Successió dels nombres parells negatius en ordre decreixent: {-2,-4,-6,-8,-10...}
Formes d'expressar una successió
Hi ha diverses maneres d'expressar una successió:
- Com una sèrie de nombres ordenats. Ex: 2, 4, 6, 8, 10, 12, .....
- Amb un text explicatiu. Ex: successió de nombres naturals parell ordenats de forma creixent
- Gràficament: representant cada terme de la successió com un punt de la recta real.
- Amb l'expressió algebraica del terme general (això no sempre és possible). És a dir, donant una expressió que ens permet calcular qualsevol terme en funció del lloc que ocupa. EX: an= 2n
- Per recurrència: quan un terme s'obté en funció de l'anterior o dels anteriors. Per exemple a1=2, an= an-1+ 2 per n>1.
Successions donades per l'expressió del terme general
L'expressió del terme general d'una successió ens permet trobar un terme substituint la n pel lloc que ocupa el terme.
Exemples
- Donada la successió amb terme general trobar els 4 primers termes i el terme a20.
Amb l'expressió general an= n² veiem que cada terme de la successió s'obté elevant al quadrat el lloc que ocupa
per calcular el terme 1 cal substituir la n per 1: així
per calcular el terme 2 cal substituir la n per 2: així
per calcular el terme 3 cal substituir la n per 3: així
per calcular el terme 4 cal substituir la n per 4: així
per calcular el terme 20 cal substituir la n per 20: així
- Donada la successió amb terme general
trobar els 4 primers termes i el terme a100.
A partir d'aquesta expressió general cada terme és el quocient del lloc que ocupa entre el lloc següent.
Per calcular el terme 1 cal substituir la n per 1: així
Per calcular el terme 2 cal substituir la n per 2: així
Per calcular el terme 3 cal substituir la n per 3: així
Per calcular el terme 4 cal substituir la n per 4: així
Per calcular el terme 100 cal substituir la n per 100: així