Successions

Les successions

Una successió és un conjunt format per infinits nombres reals ordenats. Cada nombre s'anomena terme de la successió i es representen per una lletra minúscula amb un subíndex que indica el lloc que ocupa dins de la successió.

Successió:  a₁, a₂, a₃, a₄, .........,a_n.....

         a_n representa l'enèsim terme de la successió

           (a₁ representa el primer terme de la successió,  a₂ el segon terme de la successió,.....)

       Atenció: Una successió té infinits termes

Exemples

-Successió dels nombres naturals en ordre creixent:    {1,2,3,4,5,...}

-Successió dels nombres senars en ordre creixent:    {1,3,5,7,9...}

-Successió dels nombres parells negatius en ordre decreixent:     {-2,-4,-6,-8,-10...}

Formes d'expressar una successió

Hi ha diverses maneres d'expressar una successió:

• Com una sèrie de nombres ordenats. Ex: 2, 4, 6, 8, 10, 12, .....
• Amb un text explicatiu. Ex: successió de nombres naturals parell ordenats de forma creixent
• Gràficament: representant cada terme de la successió com un punt de la recta real.
  
• Amb l'expressió algebraica del terme general (això no sempre és possible). És a dir, donant una expressió que ens permet calcular qualsevol terme en funció del lloc que ocupa. EX: a_n= 2n 
• Per recurrència: quan un terme s'obté en funció de l'anterior o dels anteriors. Per exemple a₁=2,  a_n= a_n-1+ 2 per n>1.

Successions donades per l'expressió del terme general

L'expressió del terme general d'una successió ens permet trobar un terme substituint la n pel lloc que ocupa el terme.

Exemples

• Donada la successió amb terme general  trobar els 4 primers termes i el terme a₂₀.

per calcular el terme 20 cal substituir la n per 20: així

• Donada la successió amb terme general  trobar els 4 primers termes i el terme a₁₀₀.
  A partir d'aquesta expressió general cada terme és el quocient del lloc que ocupa entre el lloc següent.
  

  Per calcular el terme 1 cal substituir la n per 1: així
  

  Per calcular el terme 2 cal substituir la n per 2: així

  Per calcular el terme 3 cal substituir la n per 3: així

  Per calcular el terme 4 cal substituir la n per 4: així
  

  Per calcular el terme 100 cal substituir la n per 100: així

  
  

Monotonia d'una successió

Es tracta de veure el comportament dels valors dels termes quan la n va creixent. Una successió és:

• Creixent si cada terme és més gran o igual que l'anterior:  a₁≤ a₂≤ a₃ ≤ a₄ ≤......a_n-1≤ a_n
• Estrictament creixent si cada terme és més gran que l'anterior:  a₁< a₂< a₃ < a₄ <......a_n-1< a_n
• Decreixent si cada terme és més petit o igual que l'anterior:  a₁≥ a₂≥ a₃ ≥ a₄ ≥......a_n-1≥ a_n
• Estrictament decreixent si cada terme és més petit que l'anterior:  a₁> a₂> a₃ >a₄ >......a_n-1> a_n

Les successions creixents o decreixents es diuen successions monòtones. No totes les successions presenten monotonia, hi ha successions oscil·lants, que ni creixen, ni decreixen.

Exemples

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, ......, n-1, n,.... aquesta successió és estrictament creixent perquè : 1 < 2 <3< 4< 5< 6< ......   
• -1, -2, -3, -4, -5, -6, ...... aquesta successió és estrictament decreixent perquè : -1 > -2>-3> -4> -5>-6> ..... 
• 2, 2, 2, 2, 2, 2, .........2, 2 és una successió creixent i decreixent alhora ja que cada termes és igual a l'anterior. Li direm successió constant.
• 1,-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1 ,.....Aquesta successió no és monòtona, és oscil·lant 
• 
  

Successions fitades

A les successions interessa també veure què passa quan la n es fa molt gran, què passa amb els termes? Estan afitats? No passen d'un cert valor? En aquest sentit convé conèixer algunes definicions.

Una successió està fitada superiorment si tots els termes són més petits o iguals que un cert valor K. En aquest cas, té moltes fites, a la fita superior més petita li diem suprem.

Una successió està fitada inferiorment si tots els termes són més grans o iguals que un cert valor K'. En aquest cas, té moltes fites, a la fita inferior més gran li diem ínfim.

Cal tenir en compte que no totes les successions estan fitades.

El límit d'una successió

El límit d'una successió ens indica la seva tendència, és a dir si quan agafem termes amb índex més i més grans de la successió aquests tendeixen a cert valor. No totes les successions tenen límit. Veiem algunes definicions i exemples. Això ho relacionarem en el proper capítol amb el límit de funcions,

Successions convergents

Quan els termes d'una successió es van apropant a un cert valor L, prenent valors de n suficientment grans, diem que L és el límit de la successió i matemàticament ho escrivim així:

 

I ho llegim dient que la successió té límit L o bé que la successió tendeix a L.   Aquestes successions que tenen per límit un nombre real s'anomenen convergents.

Les successions creixents i afitades superiorment són convergents.

Les successions decreixents i afitades inferiorment també són convergents.

Exemple

Considerem la successió

Calculem alguns termes de la successió per veure si tendeixen cap a cert valor

Calculem termes de la successió grans

>

Observem que aquests valors van acostant-se a 2. Per tant podem dir que la successió és convergent i el límit és 2.

 

Successions divergents

Ens trobem de vegades amb successions que van creixent de manera que sempre podríem aconseguir un terme tan gran com volguéssim, o per contra decreixent i es van fent tan petits com volem a mida que augmentem el valor de la n. Aquests tipus de successions diem que són divergents.

Llavors ho escrivim així:

    o 

Exemple:

• 
  

• 

•    
  

• 

Operacions amb límts

Podem definir les operacions bàsiques amb les successions: suma, resta, multiplicació i divisió. En cas que les successions tinguin límits, les successions operades conserven la mateixa operació amb el límit, és a dir:

Exemples

Considerem les successions:

Fem-ne algunes operacions:

De vegades  amb aquestes operacions arribem a indeterminacions que ens caldrà resoldre. N'hi ha de diferents tipus i diverses estratègies per resoldre-les. Només en treballarem alguns tipus a la secció de límits de funcions. Les estratègies que s'expliquin en el capítol de límits de funcions també seran vàlids per límits de successions.

Les successions que tendeixen al nombre e

El nombre e és un dels nombres irracionals més coneguts, el seu valor s'aproxima a

....

Aquest nombre està ben present a la natura i en molts problemes del món que ens envolta.

El podem definir com a límit de la següent successió:

Proveu a la calculadora d'anar donant valors a la n cada cop més grans: n=10, n=100, n=1000, observeu que passa?

En aquesta presentació de J.Parera podeu veure quin és aquest nombre, com s'obté i en quines situacions del món que ens envolta el tenim present.

   si observem el que tenim dins del parèntesis és el mateix que tenim amb el límit del nombre e. Aplicarem les propietats de potències per tal que ens aparegui el límit exacte del nombre e.




Observem que a partir de les propietats de les potències hem aconseguit escriure la successió inicial com a producte de dues successions.
En el primer factor tenim exactament la definició del nombre e però elevat a la 3, per tan tel seu límit serà e³.
El segon factor té límit 1: perquè és 1 més un terme que tendeix a 0 i tot elevat a -1:   és a dir : (1+0)^-1  =1
El límit del producte és producte de límits i ja tenim el límit final que busquem.

Progressions aritmètiques

Parlem ara d'un tipus de successió que mereix una consideració especial: les progressions aritmètiques.

Una successió és una progressió aritmètica si la diferència entre dos termes consecutius es manté constant. 

                                                   

O dit d'un altre manera, si passem d'un terme al següent sumant sempre la mateixa quantitat. Aquest valor constant el representem amb la lletra d i l'anomenem diferència de la progressió.

                                                    

Exemples

1. Considerem la successió 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,.....

      Observem que :  6-3=3, 9-6=3, 12-9=3,......o que per obtenir els successius termes anem sumant 3        

2. Considerem la successió 4, 2, 0, -2, -4, -6, -8,.....

    Observem que la diferència entre dos termes consecutius de la successió sempre és -2.

    Es tracta d'una progressió aritmètica de diferència -2.

3. Considerem la successió 1, 4, 9, 16, 25.....Observem que :

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

Terme general d'un progressió aritmètica

Ja hem vist que en una progressió aritmètica és fàcil calcular un terme si en coneixem l'anterior i la diferència. Però què passaria si volem calcular el terme a₁₀₀ o a₁₀₀₀, caldria calcular els 99 o 999 anteriors? Això seria molta feina....Tenim una fórmula que ens permetrà calcular un terme qualsevol d'una progressió aritmètica només coneixent-ne el primer terme a₁ i la diferència d.
Anem a deduir la fórmula.
Considerem una progressió aritmètica de la qual coneixem a₁ i diferència d. Generem-ne els primers termes

a₁

a₂= a₁ + d= a₁ + d·1

a₃= a₂ + d= a₁ + d + d = a₁+ d·2

a₄= a₃ + d= a₁ + d·2+ d = a₁+ d·3

a₅= a₄+ d= a₁ + d·3+ d = a₁+ d·4

Fixem-nos que un terme n s'obté sumant-li al primer la diferència d multiplicada per (n-1), la fórmula general per tant és :

Aquesta fórmula ens permet calcular un terme qualsevol de la progressió només coneixent el primer i la diferència, no ens cal calcular tots els anteriors.

Com seria el terme 100 de la progressió aritmètica de diferència 2 i a₁=1 ?

Només cal aplicar la fórmula, haurem de sumar a a₁ 99 vegades la diferència

a₁₀₀ = a₁+ (100-1)·d= 1+ 99·2= 1+198=199

Com seria el terme 1000?

a₁₀₀₀ = a₁+ (1000-1)·d= 1+999·2= 1+1998=1999

Exemple

Quina és la diferència d'una progressió aritmètica de la qual coneixem el primer terme a₁=4 i el terme a₂₀= -34?    

El primer que ens cal és recordar la fórmula del terme general d'una progressió aritmètica a_n= a₁+ (n-1)·d.

Progressions geomètriques.

Un altre cas particular de successions que mereix menció especial són les progressions geomètriques.

Una successió diem que és una progressió geomètrica si el quocient entre dos termes consecutius es manté constant. O dit d'una altra manera, si passem d'un terme al següent multiplicant sempre per la mateixa quantitat. Aquest valor constant el representem amb la lletra r i l'anomenem raó de la progressió.

:  el quocient (divisió) entre dos termes consecutius és constant

: cada terme (excepte el primer) s'obté multiplicant l'anterior per una quantitat fixa.

És important tenir clar que de successions n'hi ha de moltes tipus: progressions aritmètiques, progressions geomètriques i altres que no són cap tipus de progressió.

Exemples

1.Considerem la successió 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192,.....Observem que :

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

96/48 = 2

192/96 = 2

És a dir la divisió entre dos termes consecutius de la successió sempre és 2. Per tant es tracta d'una progressió geomètrica de raó 2.

Si volem calcular el proper terme només caldria multiplicar per 2 el darrer 192·2 = 384, el proper terme és 384.

2.Considerem la successió 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,.....Observem que :

2/4 = 0,5

1/2 = 0,5

(1/2)/1 = 0,5

(1/4)/(1/2) = 0,5

(1/8)/(1/4) = 0,5

(1/16)/(1/8) = 0,5

És a dir la divisió entre un terme i l'anterior sempre dona 0,5. Si volem calcular el proper terme només caldria multiplicar per 0,5 (1/2)el darrer : el proper (1/16)* (1/2) = 1/32 , el terme és 1/32.

3. Considerem la successió 1, 4, 9, 16, 25.....Observem que :

4 /1 = 4

9/4 = 2,25

ja no cal seguir el quocient entre dos termes consecutius no es manté constant, per tant aquesta successió no és una progressió geomètrica.

Terme general d'una progressió geomètrica

Com hem vist, és fàcil calcular un terme si en coneixem l'anterior i la raó en una progressió geomètrica. Però, què passaria si volem calcular el terme a₂₀ o a₃₀, caldria calcular els 19 o 29 anteriors? Això seria molta feina....Vegem una fórmula que ens permetrà calcular un terme qualsevol d'una progressió geomètrica només coneixent-ne el primer terme i la raó.

Considerem una progressió geomètrica de la qual sabem a₁ i raó r. Generem els primers termes i d'aquí en deduirem una fórmula general.

a₁

a₂ = a₁ · r = a₁·r¹

a₃= a₂ ·r= a₁ ·r¹ ·r = a₁·r²

a₄= a₃ ·r = a₁ ·r²·r = a₁·r³

a₅= a₄·r = a₁ ·r³·r = a₁·r⁴

Fixem-nos que un terme n s'obté multiplicant-li al primer la raó r elevada a (n-1), la fórmula general per tant és :

Aquesta fórmula ens permet calcular un terme qualsevol de la progressió només coneixent el primer i la raó, no ens cal calcular tots els anteriors.

Com seria el terme 20 de la progressió geomètrica de raó 2 i a₁=3 ?

Només cal aplicar la fórmula, haurem de multiplicar a₁ per la raó 2 elevada a 19 (n-1)

a₂₀= a₁· r¹⁹ = 3 · 2¹⁹ = 3· 524288 = 1572864

Com seria el terme 30?

a₃₀= a₁· r²⁹ = 3 · 2²⁹ = 3· 536870912 = 1610612736