Anterior
Següent

La circumferència

La circumferència és el lloc geomètric format pels punts del pla que equidisten d'un cert punt C anomenat centre.

Aquesta distància constant la coneixem com a radi.

Si P(x,y) és un punt qualsevol de la circumferència i C=(a, b) n'és el centre, tenim que la distància entre ells és

r igual arrel quadrada de parèntesi esquerre x menys a parèntesi dret ² més parèntesi esquerre y menys b parèntesi dret ² fi arrel  i si elevem al quadrat aquesta expressió obtenim l'equació analítica de la circumferència:    

                            envoltori caixa negreta parèntesi esquerre negreta x negreta menys negreta a negreta parèntesi dret negreta ² negreta més negreta parèntesi esquerre negreta y negreta menys negreta b negreta parèntesi dret negreta ² negreta igual negreta r negreta ² fi envoltori

Desenvolupant els binomis d'aquesta expressió arribem a l'equació general de la circumferència que és de la forma:

                           envoltori caixa negreta x negreta ² negreta més negreta y negreta ² negreta més negreta m negreta x negreta més negreta n negreta y negreta més negreta p negreta igual negreta 0 fi envoltori

Observem que desenvolupant l'equació analítica tenim : x ² menys 2 a x més a ² més y ² menys 2 b y més b ² igual r ²

Igualant les dues expressions tenim la relació entre els coeficients de l'equació general i les coordenades del centre i el radi:

envoltori caixa negreta m negreta igual negreta menys negreta 2 negreta a negreta n negreta igual negreta menys negreta 2 negreta b negreta p negreta igual negreta a negreta ² negreta més negreta b negreta ² negreta menys negreta r negreta ² fi envoltori


Exemples

1. Quin és el centre i el radi de la circumferència parèntesi esquerre x més 1 parèntesi dret ² més y ² igual 36 ?

Com en aquest cas tenim l'expressió analítica, és molt senzill determinar-ne el centre i el radi.

parèntesi esquerre x menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret parèntesi dret ² més parèntesi esquerre y menys 0 parèntesi dret ² igual 6 ²-----> El centre és doncs C=(-1, 0) i el radi 6.


2. Quin és el centre i el radi de la circumferència x ² més y ² menys 4 x més 10 y més 13 igual 0 ?

     En aquest cas tenim més feina, doncs l'equació està en forma general i no és tan directe trobar-ne el centre i el radi.

     m= -4 ; n= 10 i p=13

     per tant si li diem (a, b) a les coordenades del centre i r al radi cercat tenim aquesta relació:

     menys 4 igual menys 2 a menys menys menys menys major que a igual 2 10 igual espai menys 2 b menys menys menys menys major que b igual menys 5 13 igual a ² més b ² menys r ² menys menys menys major que r ² igual 4 més 25 menys 13 igual 16 menys menys major que r igual 4

     El centre de la circumferència  és  C igual parèntesi esquerre 2 coma espai menys 5 parèntesi dret  i el radi r igual 4.

Anterior
Següent