Anterior
Següent

Rectes perpendiculars

Dues rectes són perpendiculars si ho són els seus vectors directors. 
Si tenim un vector v amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre v subíndex 1 coma v subíndex 2 parèntesi dret  la forma més ràpida de trobar un vector perpendicular (o ortogonal) a ell és canviar l'ordre de les components i un d'ells canviar-lo de signe. Així v amb fletxa dreta a sobre apòstrof igual parèntesi esquerre menys v subíndex 2 coma v subíndex 1 parèntesi dret  és perpendicular al vector anterior.
Observeu que v amb fletxa dreta a sobre per v amb fletxa dreta a sobre apòstrof igual parèntesi esquerre v subíndex 1 coma v subíndex 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys v subíndex 2 coma v subíndex 1 parèntesi dret igual 0
Si tenim l'equació d'una recta en forma general  :Ax+By+C=0----->el vector v amb fletxa dreta a sobre igual obre parèntesis A coma B tanca parèntesis  és ortogonal a la recta, per tant pot ser el vector director de qualsevol recta perpendicular a la primera.

Exemple
Donada la recta r, d'equació 2x+y=7 , i el punt P=(1,0), es demana:

a) trobar raonadament l'equació de la recta s, perpendicular a r , que passa per P
b) trobar el punt Q on es tallen totes dues rectes.

a) A partir de l'equació general de r: 2x+y=7 i observant els coeficients de "x" i de "y" es poden obtenir les coordenades d'un vector normal (perpendicular) a r

\vec{u} = (2,1)

La recta s vindrà definida pel punt P=(1,0) i aquest vector director (2,1)

Equació contínua de la recta s

fracció numerador x menys 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador y menys 0 entre denominador 1 fi fracció

Fent càlculs en aquesta equació obtenim l'equació general de la recta s :   x - 2y - 1 = 0

b) Trobem, ara, el punt Q d'intersecció entre la recta s i la recta r:

Es resol el sistema de les dues equacions generals de r i s, per obtenir Q

      • 2x + y = 7
      • x - 2y - 1 = 0

En tractar-se d'un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites el podem resoldre per qualsevol dels mètodes coneguts (substitució, igualació o reducció) i  resulta ser Q = (3,1).

Comprovem-ho.

Ho fem per reducció, multipliquem la primera equació per 2 i deixem la segona igual.

obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 4 x més 2 y igual 14 fi cel·la fila cel·la espai espai x menys 2 y espai igual espai 1 fi cel·la fi taula tanca

Ara sumem les dues equacions per eliminar les y.

5 x igual 15 fletxa dreta x igual fracció 15 entre 5 igual 3

Finalment tornem a la primera equació (per exemple) substituïm la x per 3 i aïllem la y.

2 per 3 més y igual 7 menys menys menys menys major que y igual 7 menys 6 igual 1

Ja tenim el punt on es tallen les dues rectes. envoltori caixa Q igual parèntesi esquerre 3 coma 1 parèntesi dret fi envoltori



Anterior
Següent