Anterior

Problema resolt 1: quadrilàter

Donat el quadrilàter: ABCD amb vèrtex A=(2,2); B=(4,0); C=(6,2) i D=(4,4), Es demana:

a) Justifiqueu raonadament que es tracta d'un quadrat.

b) Trobeu les coordenades del punt M on es tallen les dues diagonals.

c) Calculeu l'àrea del quadrilàter.

 

a) Un quadrat és un cas particular de quadrilàter amb la particularitat que els 4 costats tenen la mateixa mida i els angles interns són tots de 90⁰.
Per comprovar que el quadrilàter donat és un quadrat calcularem primer la mida dels quatre costats comprovant que són iguals.
  • Calculem les components dels vectors que formen els quatre costats restant l'extrem menys l'origen i el mòdul de cada vector.
pila A B amb fletxa dreta a sobre igual B menys A igual parèntesi esquerre 4 coma 0 parèntesi dret menys parèntesi esquerre 2 coma 2 parèntesi dret igual parèntesi esquerre 2 coma menys 2 parèntesi dret espai fletxa dreta obre barra vertical pila A B amb fletxa dreta a sobre tanca barra vertical igual arrel quadrada de 2 al quadrat més parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret al quadrat fi arrel igual arrel quadrada de 8 igual 2 arrel quadrada de 2 pila A D amb fletxa dreta a sobre igual D menys A igual parèntesi esquerre 4 coma 4 parèntesi dret menys parèntesi esquerre 2 coma 2 parèntesi dret igual parèntesi esquerre 2 coma 2 parèntesi dret espai fletxa dreta obre barra vertical pila A B amb fletxa dreta a sobre tanca barra vertical igual arrel quadrada de 2 al quadrat més 2 al quadrat fi arrel igual arrel quadrada de 8 igual 2 arrel quadrada de 2 pila C B amb fletxa dreta a sobre igual B menys C igual parèntesi esquerre 4 coma 0 parèntesi dret menys parèntesi esquerre 6 coma 2 parèntesi dret igual parèntesi esquerre menys 2 coma menys 2 parèntesi dret espai fletxa dreta obre barra vertical pila A B amb fletxa dreta a sobre tanca barra vertical igual arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret al quadrat més parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret al quadrat fi arrel igual arrel quadrada de 8 igual 2 arrel quadrada de 2 pila C D amb fletxa dreta a sobre igual D menys C igual parèntesi esquerre 4 coma 4 parèntesi dret menys parèntesi esquerre 6 coma 2 parèntesi dret igual parèntesi esquerre menys 2 coma 2 parèntesi dret espai fletxa dreta obre barra vertical pila A B amb fletxa dreta a sobre tanca barra vertical igual arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret al quadrat més 2 blanc al quadrat fi arrel igual arrel quadrada de 8 igual 2 arrel quadrada de 2

Hem comprovat que els quatre costats mesuren el mateix .

  • Per veure que els 4 angles són de 90⁰ podem provar que els vectors que contenen els angles són perpendiculars entre sí, és a dir hem de veure que tenen producte escalar 0.
Veiem  que l'angle del vèrtex A és de 90⁰ farem el producte escalar dels vectors pila A B amb fletxa dreta a sobre espai espai i espai pila A D amb fletxa dreta a sobre.
pila A B amb fletxa dreta a sobre espai per espai pila A D amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre 2 coma espai menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre 2 coma espai 2 parèntesi dret igual espai 2 per 2 espai més parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per 2 igual 4 menys 4 igual 0  com el producte escalar és 0, els vectors són perpendiculars i A amb clau horitzontal superior a sobre igual 90 ⁰.
Procedim anàlogament amb la resta dels angles.
Angle B amb clau horitzontal superior a sobre.
pila B A amb fletxa dreta a sobre espai per espai pila B C amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre menys 2 coma espai 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre 2 coma espai 2 parèntesi dret igual espai menys 2 per 2 espai més 2 per 2 igual menys 4 més 4 igual 0  com el producte escalar és 0, els vectors són perpendiculars i B amb clau horitzontal superior a sobre igual 90 ⁰.
Angle C amb clau horitzontal superior a sobre.
pila C D amb fletxa dreta a sobre espai per espai pila C B amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre menys 2 coma espai 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 coma menys espai 2 parèntesi dret igual espai menys 2 per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret espai més 2 per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret igual 4 menys 4 igual 0  com el producte escalar és 0, els vectors són perpendiculars i C amb clau horitzontal superior a sobre igual 90 ⁰.
Angle D amb clau horitzontal superior a sobre.
pila D C amb fletxa dreta a sobre espai per espai pila D A amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre 2 coma espai menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 coma menys espai 2 parèntesi dret igual espai 2 per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret espai més parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret igual menys 4 més 4 igual 0  com el producte escalar és 0, els vectors són perpendiculars i D amb clau horitzontal superior a sobre igual 90 ⁰.

b) Com ara ja sabem que tenim un quadrat, el punt M és el punt mig de les diagonals, per trobar les seves components podem imposar que pila A C amb fletxa dreta a sobre espai igual 2 per espai pila A M amb fletxa dreta a sobre
    Si M=(x, y) tenim:
    pila A C amb fletxa dreta a sobre espai igual 2 per espai pila A M amb fletxa dreta a sobre fletxa doble dreta parèntesi esquerre 4 coma 0 parèntesi dret igual 2 parèntesi esquerre x menys 2 coma espai y menys 2 parèntesi dret
    Treballem component a component: 
     4= 2x-4-----> 2x=8----->x=4
     0= 2y-4-----> 2y=4----->y=2
    El punt que busquem és envoltori caixa M igual parèntesi esquerre 4 coma espai 2 parèntesi dret fi envoltori

c) Per calcular l'àrea hem d'aplicar la fórmula de l'àrea d'un quadrat, és a dir costat x costat, on la mida del costat és el mòdul dels vectors calculats a l'apartat a).
    À r e a igual cos t a t espai x espai cos t a t igual espai 2 arrel quadrada de 2 per 2 arrel quadrada de 2 igual envoltori caixa 8 u ² fi envoltori


Anterior