Resum conceptes bàsics: complexos i vectors

Exercici combinació lineal de vectors

Donats els vectors :

$\overrightarrow {{\rm{u}}}=(1,-2)$

$\overrightarrow {{\rm{v}}}=(4,-1)$

$\overrightarrow {{\rm{w}}}=(18,-1)$

Escriu el darrer com a combinació lineal dels dos primers.

Recordem que això significa que hem de trobar a i b nombres reals complint

$\overrightarrow {{\rm{w}}}=a \overrightarrow {{\rm{u}}} + b \overrightarrow {{\rm{v}}}$

Es tractarà doncs de plantejar i resoldre un sistema d'equacions amb les incògnites a i b.

(18 ,-1) = a(1, -2) + b(4, -1)

Separem les dues components de la igualtat

1ª component: 18= a +4b

2ª component -1= -2a-b

Observem que ja tenim un sistema lineal de dues equacions i dues incògnites, només cal resoldre'l per qualsevol dels mètodes treballats en lliuraments anteriors.

Utilitzem per exemple el mètode de substitució:

Aïllem la a de la primera equació: a= 18-4b (*)

Substituïm aquest valor a la segona equació i treballem fins a poder aïllar la b:

-1 = -2(18-4b)-b ----> -1= -36 + 8b - b ----> -1+36= 8b-b -----> 7b= 35----> b= 5

Tornem a (*)  per trobar la a.

a= 18 - 4·5= 18-20= -2

Aquests sistema té com solució : a=-2  i   b= 5 i ja tenim la combinació lineal que busquem

Resposta: La combinació lineal és la següent: