Resum conceptes bàsics: complexos i vectors

Exercicis resolts de producte escalar

Exercici 1

Calcular el producte escalar de dos vectors $\overrightarrow {{\rm{v}}}$ i $\overrightarrow {{\rm{u}}}$ sabent que el primer té un mòdul de 3 el segon de 2,5 i formen un angle de 45^o.

Aplicant la definició tenim :

$\overrightarrow {{\rm{v}}}$· $\overrightarrow {{\rm{u}}}$= 3 · 2,5 · cos(45^o) = 3 · 2,5 · 0,71 = 5,325

Exercici 2

Calculem el producte escalar dels vectors $\overrightarrow {{\rm{v}}}$ i $\overrightarrow {{\rm{u}}}$ que tenen per components respectivament (8,1) i (-2, 7)

$\overrightarrow {{\rm{v}}}$· $\overrightarrow {{\rm{u}}}$=8· (-2) + 1 · 7 =  -16 + 7 = -9

Exercici 3

Quin angle formen els vectors $\overrightarrow {{\rm{v}}}$=(1,4) i $\overrightarrow {{\rm{u}}}$= (2,-6) ?

Com en coneixem les components podem calcular-ne el producte escalar i després el cosinus:

$\cos \left( \alpha \right)= \frac{1 \cdot 2+4 \cdot \left(-6\right)}{\left|u\right| \cdot \left|v\right|} = \frac{-22}{ \sqrt{1^{2}+4^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+\left(-6\right)^{2}} } = \frac{-22}{ \sqrt{17} \cdot \sqrt{40} }=-0,84$

 Ara amb la calculadora busquem quin angle té per cosinus -0,84

arc cos (-0,84)= 147.14⁰   (recordeu que això a la majoria de les calculadores es fa SHIFT COS -0,84 =

Obtenim α =147,14⁰