Resum conceptes bàsics: complexos i vectors

Angle entre dos vectors

Si es fa coincidir l'origen de dos vectors lliures, definim l'angle entre els dos vectors com el més petit entre els dos angles que es formen (α i 360^o-α)

Producte escalar

El producte escalar   entre dos vectors  és el nombre real que s'obté en fer les següents operacions:

 

Càlcul del producte escalar amb components

Si coneixem les components dels dos vectors en base ortogonal (en general els vectors venen donats en base (1, 09 i (0,1)  que ho és), el càlcul del producte escalar es limita a fer la suma del producte de les seves components:

Per exemple si:  el producte escalar de tots dos vectors es calcularia fent

Producte escalar d'un vector per ell mateix.

              

Observem que en aquest cas obtenim el mòdul al quadrat del vector.

Com calcular l'angle entre dos vectors?

Si coneixem el producte escalar entre dos vectors, i els seus mòduls, fàcilment podrem calcular l'angle que formen els dos vectors.
Partirem de la definició de producte escalar i aïllarem el cosinus. Un cop tinguem el cosinus, aplicant la funció arccos amb la calculadora trobarem l'angle.

Recordeu que per la funció  arccos amb la calculadora s'acostuma a fer amb (SHIFT COS).

Vectors perpendiculars

Diem que dos vectors són perpendiculars o ortogonals si formen un angle de 90⁰ (π/2 rad).

Com el cos(90⁰)= 0, tenim que el producte escalar és 0.

     

Hi ha infinits vectors perpendiculars a un de donat.

Si tenim el vector per trobar-ne un de perpendicular senzillament podem canviar de lloc les components i una d'elles de signe.

És a dir el vector (-b, a) és perpendicular a v perquè : a·(-b)+ b·a=0

Qualsevol múltiple de (-b, a) també és ortogonal a v.

Exemple

Donat el vector amb components (3, 5). Trobeu cinc vectors ortogonals a ell.
El que seria més senzill seria (-5, 3) (observeu que hem canviat l'ordre de les components i una d'elles de signe). A partir d'aquest només ens cal buscar múltiples si en volem més.
Els vectors (-5,3), (5, -3), (-10, 6), (-2.5, 1.5), (-15, 9) són ortogonals al primer. I seria molt fàcil trobar-ne més.

Vectors unitaris

Diem que un vector és unitari si el seu mòdul és 1. Donat un vector podem construir un vector de la mateixa direcció i sentit però unitari senzillament dividint-lo per la seva norma o mòdul.

Exemple

Donat el vector en calculem el seu mòdul.

Com el seu mòdul no és 1 aquest vector no és unitari.

Com podem trobar un vector de la mateixa direcció i sentit que unitari? Dividint les dues components per el mòdul obtingut.

  seria un vector unitari de la mateixa direcció i sentit que .