Anterior
Següent

Fraccions algebraiques

Una fracció algebraica és el quocient de dos polinomis P(x) i Q(x), amb Q(x)≠0
fracció numerador P parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador Q parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció

Les operacions amb fraccions algebraiques s'assemblen a les operacions amb fraccions numèriques.


Fraccions equivalents

fracció numerador P parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador Q parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció igual fracció numerador M parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador N parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció fletxa doble esquerra i dreta P parèntesi esquerre x parèntesi dret per N parèntesi esquerre x parèntesi dret igual M parèntesi esquerre x parèntesi dret per Q parèntesi esquerre x parèntesi dret p r o d u c t e espai e n espai c r e u

de forma anàloga al que passa amb fraccions numèriques.

Exemple:

Son equivalents les dues fraccions algebraiques següents?
fracció numerador x més 2 entre denominador x menys 3 fi fracció igual fracció numerador x al quadrat menys 4 entre denominador x al quadrat menys 5 x més 6 fi fracció

Si apliquem la definició de fraccions algebraiques equivalents caldria comprovar que :
obre parèntesis x més 2 tanca parèntesis per parèntesi esquerre x al quadrat menys 5 x més 6 parèntesi dret igual obre parèntesis x al quadrat menys 4 tanca parèntesis per obre parèntesis x menys 3 tanca parèntesis

Ho comprovem:

x al cub menys 3 x al quadrat menys 4 x més 12 igual x al cub menys 3 x al quadrat menys 4 x més 12

Per tant són equivalents.

Tot i això hagués estat més fàcil simplificar la fracció algebraica de la dreta i comprovar que donava exactament la fracció de l'esquerra.

Simplificació de fraccions

Per simplificar una fracció algebraica cal dividir numerador i denominador pel mateix factor, fins obtenir una fracció irreductible.

Prèviament cal factoritzar cada polinomi i simplificar els factors comuns.

Exemple:

Simplifica la fracció algebraica:
fracció numerador x al quadrat menys 4 entre denominador x al quadrat menys 5 x més 6 fi fracció

Cal factoritzar els polinomis : P parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat menys 4 espai espai i espai espai Q parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat menys 5 x més 6

i queda :

fracció numerador x al quadrat menys 4 entre denominador x al quadrat menys 5 x més 6 fi fracció igual fracció numerador parèntesi esquerre x menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre x més 2 parèntesi dret entre denominador parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret per parèntesi esquerre x menys 2 parèntesi dret fi fracció

Observem que podem dividir numerador i denominador per (x-2)

fracció numerador x al quadrat menys 4 entre denominador x al quadrat menys 5 x més 6 fi fracció igual fracció numerador ratllat diagonal cap amunt parèntesi esquerre x menys 2 parèntesi dret fi ratllat per parèntesi esquerre x més 2 parèntesi dret entre denominador parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret per ratllat diagonal cap amunt parèntesi esquerre x menys 2 parèntesi dret fi ratllat fi fracció

per tant la fracció simplificada seria:

fracció numerador parèntesi esquerre x més 2 parèntesi dret entre denominador parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret fi fracció

Anterior
Següent