Anterior
Següent

Factorització d'un polinomi

Factoritzar un polinomi consisteix en escriure'l com a producte de polinomis de grau més petit. (Intentarem que sigui el grau més petit possible).

Per exemple la factorització de P(x)= x3 - 2x2 -13x -10 és (x+1)·(x+2)·(x-5).

Per realitzar la factorització d'un polinomi, tindrem en compte els mètodes següents:

    • Treure factor comú si tots els coeficients són múltiples del mateix nombre o monomi.
P(x)= 2x4-4x3+6x= 2x · (x3-2x2+3)
    • Identificació del polinomi amb una identitat notable
P(x)=x4-8x2+16=(x2-4)2
 
    • Buscar els divisors de la forma (x-a) aplicant Ruffini pel valor a, és a dir buscar les arrels
 Factoritzar el polinomi P(x) = x4- 8x3+ 11x2 + 32x - 60
        • Divisors del terme independent D(60) = {±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60}
        • S'aplica Ruffini per cada divisor, i triem els divisors que donen residu "0".
        • A cada divisor que compleix amb aquesta condició del residu li correspon un factor en la descomposició i podem continuar aplicant Ruffini a partir del polinomi que ens ha quedat com a quocient.

1

-8

11

32

-60
2 2 -12 -2 60
1 -6 -1 30 0
-2 -2 16 -30
1 -8 15 0
3 3 -15
1 -5 0

Per tant, es pot posar: P(x) = x4- 8x3+ 11x2 + 32x - 60= (x-2 ) ·(x+2)·(x-3)·(x-5)

Observacions: Recordem que un cop arribem a un polinomi de grau dos ja tenim na fórmula per trobar les arrels i això pot resultar més ràpid en ocasions que provar per Ruffini.


Arrels d'un polinomi factoritzat

Un cop tenim el polinomi factoritzat les arrels del polinomi són els valors que anul·len cada factor, per tant caldrà igualar a zero cada factor.

Així seguint l'exemple anterior, el polinomi (x-2 ) ·(x+2)·(x-3)·(x-5)té les arrels 2, -2 , 3 i 5 ja que

x - 2 = 0------> x = 2

x + 2 = 0------>x = -2

x - 3 = 0 ------> x = 3

x - 5 = 0 ------> x = 5


Ordre o multiplicitat d'una arrel

Si un factor (x-a) es repeteix n vegades a la factorització apareixerà amb potència (x-a)n llavors direm que a és una arrel del polinomi d'ordre o multiplicitat n. És a dir té l'arrel repetida n vegades.

Exemple:

P(x)= (x+1)2(x-6) té l'arrel -1 amb multiplicitat 2 i l'arrel 6.


Fixa't per tant que el mecanisme per factoritzar un polinomi i el de trobar les arrels, són pràcticament el mateix, però la resposta a donar és diferent.
És a dir, si ens demanen trobar la factorització del polinomi P(x) = x4- 8x3+ 11x2 + 32x - 60 hauríem de dir  P(x)= (x-2 ) ·(x+2)·(x-3)·(x-5).
Si ens demanen quines són les arrels de P(x) = x4- 8x3+ 11x2 + 32x - 60 la resposta hauria de ser: 2, -2 , 3 i 5.

Anterior
Següent