Resum conceptes bàsics Tema Polinomis.

Arrels d'un polinomi

Un nombre real a és arrel d'un polinomi P(x) si el valor numèric de P(x) per x=a és 0. És a dir P(a)=0.

Les arrels d'un polinomi són per tant les solucions de l'equació que s'obté en igualar a 0 el polinomi. P(x)=0.

Si a és arrel d'un polinomi podem dir tres coses equivalents:

• a és arrel de P(x)
• P(x) és múltiple de (x-a)
• (x-a) és divisor de P(x)

Si a és arrel de P(x), aquest polinomi es pot expressar com : P(x)=(x-a)·Q(x) per cert polinomi Q(x).

Com es calculen les arrels d'un polinomi?

• Polinomis de grau 1. Tenen una única arrel. Per trobar-la només cal igualar el polinomi a 0 i aïllar la x. Tenim una equació de primer grau.
  

• Polinomis de grau 2. Poden tenir 2 arrels reals o cap. Per calcular-les resolem l'equació de segon grau que surt en igualar a 0 el polinomi.
  Recordem que per trobar les solucions d'una equació de segon grau d'aquest tipus: , apliquem la fórmula

  

  El valor que està dins de l'arrel quadrada li diem discriminant i el notem amb el símbol Δ. Segons com és aquest nombre variarà el nombre d'arrels que té el polinomi.
  Si el discriminant Δ és positiu tenim dues arrels diferents
  Si el discriminant Δ és 0 tenim una sola arrel però repetida
  Si el discriminant Δ és negatiu el polinomi no té arrels reals
  
  Exemple: P(x)= x² + 3x + 2
  
  Δ=b² - 4·a·c = 3²-4·1·2=9-8=1 en ser positiu tenim 2 arrels reals.
  
  
  
  El polinomi té les arrels -1 i -2

• Polinomis de grau superior a 2. No tenim cap mètode senzill per trobar les arrels de polinomis de grau major que dos, per tant ens limitarem a buscar-les en casos fàcils.
  -Un polinomi de grau n tindrà com a màxim n arrels reals.
  -Extraurem factor comú (si en té).
  -Si té arrels enteres (no necessàriament en té) aquestes han de dividir el terme independent del polinomi.
  Per tant farem servir el següent mecanisme:
  -Buscarem els divisors del terme independent
  -Provarem per Ruffini si són arrels del polinomi, és a dir si en dividir per x-a el residu dóna 0.
  -Truc: si el polinomi té tots els coeficients positius segur que no té cap arrel positiva, per tant no caldria provar-les.
  -Un cop trobem una arrel podem repetir el procediment amb el polinomi quocient obtingut.
  - Quan arribem a un polinomi de grau 2 ja podem aplicar la fórmula explicada abans.
  
  Exemple: Calcular les arrels del polinomi P(x)=x³ - 2x² - 13x -10.
  
  Com el polinomi té grau 3 sabem que com a màxim tindrà tres arrels i que si té arrels enteres aquestes han de dividir a -10.
  Els divisors de -10 són : +1, -1, +2, -2, +5, -5
  Provem aquests valors per Ruffini:
  Comencem per +1

	1	-2	-13	-10
1		1	-1	-14
	1	-1	-14	-24

Com el residu no és zero, +1 no és arrel del polinomi.

Provem per -1

	1	-2	-13	-10
-1		-1	3	10
	1	-3	-10	0

Com el residu és zero : -1 és arrel de P(x).

Si seguim provant pels altres valors observarem que les altres dues arrels són -2 i 5. Si ho fem per Rufini, no cal seguir amb el polinomi inicial, es pot fer a partir del quocient que hem obtingut en dividir per x+1, és a dir x²-3x-10. També podríem aplicar la fórmula de resolució de les equacions de segon grau a aquest x²-3x-10, així seria fàcil trobar les altres arrels encara que no fossin enteres.

Teorema del factor

Un polinomi P(x) té un factor (x-a) si, i només si, x=a és una arrel del polinomi.

Exemple:

(x-2) és un factor del polinomi P(x)= x³ + x² -5x -2 ja que 2 és una arrel del polinomi.

Observem que P(2)=2³ + 2² -5·2 - 2= 8 + 4 - 10 - 2= 0

per tant P(x)= (x-2)·Q(x) per trobar qui és Q(x) podem dividir el polinomi per (x-2).