Resum conceptes bàsics Tema Polinomis.
Resum conceptes bàsics del Lliurament 1: Tema polinomis.
Valor numèric i Teorema del Residu
Valor numèric d'un polinomi
En el llenguatge algebraic i als polinomis en particulars, les lletres indiquen nombres qualsevol. En el moment que passem a donar-li a la o les lletres un valor concret, obtindrem un resultat numèric.
El valor numèric d'un polinomi P(x) quan x=a és el valor que s'obté en substituir la x pel valor a i fer-ne les operacions que queden indicades. Aquest valor numèric l'indicarem per P(a).
Exemples:
P(x)=x⁴ - 3x³ - 2x + 1
El valor numèric de P(x) per x=1 es calcula:
P(1)=1⁴ -3·1³ - 2·1 + 1= 1-3-2+1=2-5= -3
El valor numèric de P(x) per x= - 1 es calcula:
P(-1)=(-1)⁴ -3·(-1)³ - 2·(-1 )+ 1= 1-3·(-1)+2+1=1+3+2+1= 7
El Teorema del Residu
El valor numèric de P(x) quan x=a coincideix amb el residu que s'obté en dividir P(x) per x-a.
| P(a)= Residu de dividir P(x) per (x-a) |
Justificació: En dividir P(x) entre x-a el residu serà un nombre (recordem que el grau del residu sempre és menor que el del divisor)
Si li diem Q(x) i R al quocient i residu d'efectuar la divisió, tenim la següent igualtat
P(x)= (x-a)·Q(x)+R Si ara substituïm la x per calcular el valor numèric tenim:
P(a)=(a-a)·Q(a)+R= 0·Q(a) + R= R
Aquest teorema per tant ens proporciona una nova manera de calcular el valor numèric d'un polinomi, és a dir o bé substituïm la x pel valor que ens indiquin i operem o bé efectuem la divisió i ens quedem amb el residu, les dues coses coincidiran.
El residu el podem calcular fent la divisió clàssica o pel mètode de Ruffini.
Atenció: El residu de dividir un polinomi per (x+a) equival a P(-a).
Exemple:
Donat el polinomi P(x)=x⁴ - 3x³ - 2x + 1 de l'exemple anterior calculem P(1) utilitzant el teorema del Residu.
El teorema ens diu que P(1) és el residu de dividir P(x) entre (x-1) i això és el que farem utilitzant el mètode de Ruffini.
Col·loquem els coeficients per aplicar Ruffini i a l'esquerra posem 1 perquè anem a dividir per x-1 i apliquem l'algoritme
| 1 | -3 | 0 | -2 | 1 | |
| 1 | 1 | -2 | -2 | -4 | |
| 1 | -2 | -2 | -4 | -3 |
El terme de la dreta de la darrera fila és el residu, per tant podem afirmar P(1)= -3