Anterior
Següent

Operacions amb polinomis

Suma i resta de monomis

Només podrem sumar o restar monomis semblants. Per fer-ho sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part literal

a x elevat a n més b x elevat a n igual parèntesi esquerre a més b parèntesi dret x elevat a n

a x elevat a n menys b x elevat a n igual parèntesi esquerre a menys b parèntesi dret x elevat a n
Exemples:

4 x elevat a 5 més 7 x elevat a 5 menys 12 x elevat a 5 igual parèntesi esquerre 4 més 7 menys 12 parèntesi dret x elevat a 5 igual menys x elevat a 5


Suma i resta de polinomis

Per sumar dos polinomis P(x)+Q(x), sumem els seus termes semblants (és a dir del mateix grau).

Restar dos polinomis equival a sumar al primer l'oposat del segon. P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x))

Exemples

Siguin P parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a 4 menys 3 x al cub més 2 x menys 9 espai espai i espai espai espai Q parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 12 x al cub més 3 x

P parèntesi esquerre x parèntesi dret més Q parèntesi esquerre x parèntesi dret igual parèntesi esquerre x elevat a 4 menys 3 x al cub més 2 x menys 9 parèntesi dret espai més parèntesi esquerre 12 x al cub més 3 x parèntesi dret igual x elevat a 4 més parèntesi esquerre menys 3 més 12 parèntesi dret x al cub més parèntesi esquerre 2 més 3 parèntesi dret x menys 9 igual x elevat a 4 més 9 x al cub més 5 x menys 9

P parèntesi esquerre x parèntesi dret menys Q parèntesi esquerre x parèntesi dret igual P parèntesi esquerre x parèntesi dret més parèntesi esquerre menys Q parèntesi esquerre x parèntesi dret parèntesi dret igual espai parèntesi esquerre x elevat a 4 menys 3 x al cub més 2 x menys 9 parèntesi dret espai menys parèntesi esquerre 12 x al cub més 3 x parèntesi dret igual parèntesi esquerre x elevat a 4 menys 3 x al cub més 2 x menys 9 parèntesi dret espai més parèntesi esquerre menys 12 x al cub menys 3 x parèntesi dret igual x elevat a 4 més parèntesi esquerre menys 3 menys 12 parèntesi dret x al cub més parèntesi esquerre 2 menys 3 parèntesi dret x menys 9 igual x elevat a 4 menys 15 x al cub menys x menys 9


Multiplicació i divisió de monomis

Per multiplicar dos monomis es multipliquen els coeficients i es sumen els exponents (recordar les propietats de les potències).

Per dividir dos monomis es divideixen els coeficients i es resten els exponents. (Cal que el grau del dividend sigui més gran o igual al del divisor). Si la divisió dels coeficients no és exacte es deixa el resultat en forma de fracció.

a x elevat a n per b x elevat a m igual parèntesi esquerre a per b parèntesi dret x elevat a n més m fi elevat
a x elevat a n dos punts b x elevat a m igual parèntesi esquerre a dos punts b parèntesi dret x elevat a n menys m fi elevat
Exemples :

parèntesi esquerre 50 x elevat a 6 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 x elevat a 5 parèntesi dret igual 50 per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret x elevat a 6 més 5 fi elevat igual menys 100 x elevat a 11 parèntesi esquerre 50 x elevat a 6 parèntesi dret dos punts parèntesi esquerre menys 2 x elevat a 5 parèntesi dret igual 50 dos punts parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret x elevat a 6 menys 5 fi elevat igual menys 25 x elevat a 1 igual menys 25 x

Multiplicació i divisió de polinomis

Per multiplicar dos polinomis, cada monomi del primer multiplica a tots els termes del segon. El resultat s'ha de simplificar.

Exemple:

parèntesi esquerre negreta 4 bold italic x elevat a negreta 2 menys negreta 3 bold italic x parèntesi dret per parèntesi esquerre menys x al cub més 2 x al quadrat menys 5 x més 3 parèntesi dret igual negreta 4 bold italic x elevat a negreta 2 negreta per parèntesi esquerre menys x al cub més 2 x al quadrat menys 5 x més 3 parèntesi dret menys negreta 3 bold italic x negreta per parèntesi esquerre menys x al cub més 2 x al quadrat menys 5 x més 3 parèntesi dret

ara multipliquem cada terme del primer polinomi per tots els termes del segon

= negreta menys negreta 4 bold italic x elevat a negreta 5 negreta més negreta 8 bold italic x elevat a negreta 4 negreta menys negreta 20 bold italic x elevat a negreta 3 negreta més negreta 12 bold italic x elevat a negreta 2 negreta més negreta 3 bold italic x elevat a negreta 4 negreta menys negreta 6 bold italic x elevat a negreta 3 negreta més negreta 15 bold italic x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 9 bold italic x

finalment sumem els termes semblants per reduir l'expressió

negreta igual negreta menys negreta 4 bold italic x elevat a negreta 5 negreta més negreta 11 bold italic x elevat a negreta 4 negreta menys negreta 26 bold italic x elevat a negreta 3 negreta més negreta 27 bold italic x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 9 bold italic x

La divisió de dos polinomis verifica sempre aquesta igualtat amb el grau del residu més petit que el grau del divisor.

Dividend = Divisor · Quocient + Residu

A(x)= B(x)·Q(x)+R(x) i sempre grau (R(x))<grau (B(x))

Si el residu és 0 A(x)= B(x)·Q(x) diem que la divisió és exacte, també diem que A(x) és múltiple de B(x) o bé que B(x) és divisor de A(x). 

Les divisions de polinomis es poden efectuar de forma molt similar a com es fan les divisions numèriques.


Ara bé, quan el divisor és de tipus bold italic x negreta menys bold italic a espai espai o espai espai bold italic x negreta més bold italic a amb a un nombre qualsevol, tindrem un mètode més còmode per fer la divisió: el mètode de Ruffini que comentarem més endavant.

Anterior
Següent