Anterior

Aproximacions i errors

Aproximacions i estimacions

Per treballar amb nombres amb moltes xifres decimals, es fan aproximacions. Aquestes aproximacions poden ser per excés si l'aproximació és més gran que el valor exacte o per defecte si l'aproximació és més petita que el valor exacte.

Utilitzem dos mecanismes bàsics d'aproximació:
    • TRUNCAMENT: prenem les xifres decimals que necessitem i eliminem la resta.
    • ARRODONIMENT: prenem les xifres decimals que necessitem i eliminem la resta modificant, si cal, la darrera xifra decimal seguint aquesta regla:
      Si la primera xifra que eliminem és inferior a 5, deixem igual les xifres anteriors.
      Si la primera xifra que eliminem és igual a superior a 5, sumem 1 a la xifra anterior.
Exemples
Valor exacte Ordre Truncament Arrodoniment
234,5627 centèsims 234,56 234,56
234,5627 mil·lèsims 234,562 234,563
0,95555555 dècims 0,9 1
π=3,141592... mil·lèsims 3,141 3,142

De la mateixa manera en mesurar magnituds se'n fa una estimació i aquestes comporten un error experimental degut a la manca de precisió que es comet.
Quan es fan aproximacions o estimacions de quantitats interessa conèixer-ne l'error comès o almenys acotar-lo.

Errors

En aproximar un nombre cometem un error, ja que no estem considerant el valor exacte. És bo conèixer o almenys acotar l'error que estem comentem per valorar la precisió dels nostres càlculs.

L'error absolut Eaés la diferència en valor absolut entre el valor exacte i l'aproximació.

L'error relatiu Er és el quocient entre l'error absolut i el valor absolut del valor exacte. Aquest ens indica quin és l'error comès per unitat (habitualment es dóna en %) i ens serveix per comparar diverses aproximacions, per saber quina és més precisa.

E subíndex a igual obre barra vertical V subíndex a p r o x fi subíndex menys V subíndex e x a c t e fi subíndex tanca barra vertical E subíndex r igual fracció numerador E subíndex a entre denominador obre barra vertical V subíndex e x a c t e fi subíndex tanca barra vertical fi fracció

Tanmateix, dels nombres amb infinites xifres no en coneixem el valor exacte i per això no podem calcular-ne l'error relatiu, sinó només una fita, és a dir podrem dir que l'error comés és menor que un cert valor. El càlcul d'aquesta fita no és únic, una forma de fer-ho és aquesta:

Fita de l'error absolut <|Aproximació per excés- Aproximació per defecte|

Xifres significatives

Són els dígits que es coneixen amb precisió més un darrer dígit que s'ha aproximat o estimat. En contextos científics és important treballar amb el nombre de xifres significatives que es demanin.

Anterior