Resum Matrius: Sistemes matricials

8. Sistemes matricials

Amb matrius treballem de manera semblant que amb números:

Exemples:

$A plus X égal à B espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace X égal à B moins A X plus A égal à B fois C espace espace espace double flèche vers la droite espace X égal à B fois C moins A A moins X égal à B espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace moins X égal à B moins A espace espace double flèche vers la droite espace X égal à moins B plus A espace espace espace$

fixeu-vos que -B s'btindrà canviant de signe tots els element de B

I per exemple, 5A és la matriu que s'obté de multiplicar tots els elements per 5

En aquest exemples per aïllar la matriu X simplement fem:

$X plus 5 A égal à B espace espace espace double flèche vers la droite espace X égal à B moins 5 A$

$3 X plus B égal à C espace espace double flèche vers la droite espace espace 3 X égal à C moins B espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace X égal à 1 tiers parenthèse gauche C moins B parenthèse droite$

Cas $cadre englobant gras A gras fois gras X gras égal à gras B fin$ o $cadre englobant gras X gras fois gras A gras égal à gras B fin$

Aquest cas és el més interessant i s'ha de tenir cura com es resol. Ho tractem amb detall.

Fixeu-vos que en matrius no tenim l'operació quocient de matrius. No podem fer A/B

Farem un exemple per explicar dues maneres diferents de fer-ho.

Exemple

$cadre englobant D o n a d e s italique sur espace l e s italique sur espace m a t r i u s italique sur espace italique sur espace italique sur espace A italique sur égal à ouvrir la parenthèse table ligne italique sur 2 cellule italique sur moins italique sur 1 fin de cellule ligne italique sur 1 italique sur 3 fin de table fermer la parenthèse italique sur espace italique sur espace italique sur espace italique sur espace italique sur espace italique sur espace italique sur espace B italique sur égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule italique sur moins italique sur 4 fin de cellule cellule italique sur 8 italique sur espace fin de cellule ligne italique sur 5 italique sur 4 fin de table table ligne italique sur 3 ligne cellule italique sur moins italique sur 2 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse italique sur espace italique sur espace italique sur espace T r o b e u italique sur espace l a italique sur espace m a t r i u italique sur espace X italique sur espace t a l italique sur espace q u e italique sur espace A italique sur fois X italique sur égal à B italique sur espace italique sur espace italique sur espace fin$

Mètode 1: Plantejant el sistema.

Primer de tot hem de pensar de quin ordre ha de ser la matriu X que busquem:

A és 2x2, B és 2x3 → X és 2x3

2 files per tal que es pugui multiplicar per A que té 2 columnes

3 columnes ja que ha de donar una matriu de 3 columnes

Per tant, la matriu X serà de la forma:

$X égal à ouvrir la parenthèse table ligne a c e ligne b d f fin de table fermer la parenthèse$

El sistema que es planteja és:

$ouvrir la parenthèse table ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 1 3 fin de table fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse table ligne a c e ligne b d f fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule moins 4 fin de cellule cellule 8 espace fin de cellule ligne 5 4 fin de table table ligne 3 ligne cellule moins 2 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse$

Multiplicant tenim:

$ouvrir la parenthèse table ligne cellule 2 a moins b espace fin de cellule cellule 2 c moins d espace fin de cellule cellule 2 e moins f fin de cellule ligne cellule a plus 3 b fin de cellule cellule c plus 3 d fin de cellule cellule e plus 3 f fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule moins 4 fin de cellule 8 3 ligne 5 4 cellule moins 2 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse$

Igualem element a element i plantegem 3 sistemes d'equacions.

$début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule 2 a moins b égal à moins 4 fin de cellule ligne cellule a plus 3 b égal à 5 fin de cellule fin de tableau accolade fermée$

$début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule 2 c moins d égal à 8 fin de cellule ligne cellule c plus 3 d égal à 4 fin de cellule fin de tableau accolade fermée$

$début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule 2 e moins f égal à 3 fin de cellule ligne cellule e plus 3 f égal à moins 2 fin de cellule fin de tableau accolade fermée$

Resolent aquests sistemes trobem que

a=-1 c=4 e=1

b=2 d=0 f=-1

Per tant:

$X égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule gras moins gras 1 fin de cellule gras 4 gras 1 ligne gras 2 gras 0 cellule gras moins gras 1 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse$

· Métode 2: Amb la inversa de la matriu A (Si la matriu A és invertible)

Primer de tot fixeu-vos en la diferència de tenir $bold italic A gras fois bold italic X gras égal à bold italic B$ o $bold italic X gras fois bold italic A gras égal à bold italic B$

$bold italic A gras fois bold italic X gras égal à bold italic B$

En aquest cas multipliquem per l'esquerra (això és important!) tota l'equació per la inversa de A:

A^-1·A·X = A^-1·B

Com que A^-1·A= I (matriu identitat):

X = A^-1·B

$bold italic X gras fois bold italic A gras égal à bold italic B$

En aquest cas multipliquem per la dreta tota l'equació per la inversa de A

XA·A^-1= B·A^-1

Com que A·A^-1= I (matriu identitat):

X = B·A^-1

En el cas de l'exemple volem la matriu X tal que A·X=B

Per tant:

$espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace A fois X égal à B espace A puissance moins 1 fin de l'exposant fois A fois X égal à A puissance moins 1 fin de l'exposant fois B espace espace espace espace double flèche vers la droite X égal à A puissance moins 1 fin de l'exposant fois B$

Ara necessitem A^-1 (l'hem calculat en Matriu inversa)

$A puissance moins 1 fin de l'exposant égal à 1 sur 7 ouvrir la parenthèse table ligne 3 1 ligne cellule moins 1 espace fin de cellule 2 fin de table fermer la parenthèse$

Per tant:

$X égal à A puissance moins 1 fin de l'exposant fois B égal à 1 sur 7 ouvrir la parenthèse table ligne 3 1 ligne cellule moins 1 espace fin de cellule 2 fin de table fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse table ligne cellule moins 4 fin de cellule 8 3 ligne 5 4 cellule moins 2 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à 1 sur 7 ouvrir la parenthèse table ligne cellule moins 7 espace fin de cellule cellule 28 espace fin de cellule 7 ligne 14 0 cellule moins 7 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule gras moins gras 1 fin de cellule gras 4 gras 1 ligne gras 2 gras 0 cellule gras moins gras 1 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse$

Observació: Si la matriu A no té inversa obligatòriament ho hem de fer plantejant un sistema d'equacions.

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