Resum Matrius: Sistemes matricials

8. Sistemes matricials

Amb matrius treballem de manera semblant que amb números:

Exemples:

$A plus X equals B space space space space space space space rightwards double arrow space space X equals B minus A X plus A equals B times C space space space rightwards double arrow space X equals B times C minus A A minus X equals B space space space space space space space rightwards double arrow space minus X equals B minus A space space rightwards double arrow space X equals negative B plus A space space space$

fixeu-vos que -B s'btindrà canviant de signe tots els element de B

I per exemple, 5A és la matriu que s'obté de multiplicar tots els elements per 5

En aquest exemples per aïllar la matriu X simplement fem:

$X plus 5 A equals B space space space rightwards double arrow space X equals B minus 5 A$

$3 X plus B equals C space space rightwards double arrow space space 3 X equals C minus B space space space rightwards double arrow space space space X equals 1 third left parenthesis C minus B right parenthesis$

Cas $box enclose bold A bold times bold X bold equals bold B end enclose$ o $box enclose bold X bold times bold A bold equals bold B end enclose$

Aquest cas és el més interessant i s'ha de tenir cura com es resol. Ho tractem amb detall.

Fixeu-vos que en matrius no tenim l'operació quocient de matrius. No podem fer A/B

Farem un exemple per explicar dues maneres diferents de fer-ho.

Exemple

$box enclose D o n a d e s italic space l e s italic space m a t r i u s italic space italic space italic space A italic equals open parentheses table row italic 2 cell italic minus italic 1 end cell row italic 1 italic 3 end table close parentheses italic space italic space italic space italic space italic space italic space italic space B italic equals open parentheses table row cell italic minus italic 4 end cell cell italic 8 italic space end cell row italic 5 italic 4 end table table row italic 3 row cell italic minus italic 2 end cell end table close parentheses italic space italic space italic space T r o b e u italic space l a italic space m a t r i u italic space X italic space t a l italic space q u e italic space A italic times X italic equals B italic space italic space italic space end enclose$

Mètode 1: Plantejant el sistema.

Primer de tot hem de pensar de quin ordre ha de ser la matriu X que busquem:

A és 2x2, B és 2x3 → X és 2x3

2 files per tal que es pugui multiplicar per A que té 2 columnes

3 columnes ja que ha de donar una matriu de 3 columnes

Per tant, la matriu X serà de la forma:

$X equals open parentheses table row a c e row b d f end table close parentheses$

El sistema que es planteja és:

$open parentheses table row 2 cell negative 1 end cell row 1 3 end table close parentheses times open parentheses table row a c e row b d f end table close parentheses equals open parentheses table row cell negative 4 end cell cell 8 space end cell row 5 4 end table table row 3 row cell negative 2 end cell end table close parentheses$

Multiplicant tenim:

$open parentheses table row cell 2 a minus b space end cell cell 2 c minus d space end cell cell 2 e minus f end cell row cell a plus 3 b end cell cell c plus 3 d end cell cell e plus 3 f end cell end table close parentheses equals open parentheses table row cell negative 4 end cell 8 3 row 5 4 cell negative 2 end cell end table close parentheses$

Igualem element a element i plantegem 3 sistemes d'equacions.

$open table attributes columnalign right end attributes row cell 2 a minus b equals negative 4 end cell row cell a plus 3 b equals 5 end cell end table close curly brackets$

$open table attributes columnalign right end attributes row cell 2 c minus d equals 8 end cell row cell c plus 3 d equals 4 end cell end table close curly brackets$

$open table attributes columnalign right end attributes row cell 2 e minus f equals 3 end cell row cell e plus 3 f equals negative 2 end cell end table close curly brackets$

Resolent aquests sistemes trobem que

a=-1 c=4 e=1

b=2 d=0 f=-1

Per tant:

$X equals open parentheses table row cell bold minus bold 1 end cell bold 4 bold 1 row bold 2 bold 0 cell bold minus bold 1 end cell end table close parentheses$

· Métode 2: Amb la inversa de la matriu A (Si la matriu A és invertible)

Primer de tot fixeu-vos en la diferència de tenir $bold italic A bold times bold italic X bold equals bold italic B$ o $bold italic X bold times bold italic A bold equals bold italic B$

$bold italic A bold times bold italic X bold equals bold italic B$

En aquest cas multipliquem per l'esquerra (això és important!) tota l'equació per la inversa de A:

A^-1·A·X = A^-1·B

Com que A^-1·A= I (matriu identitat):

X = A^-1·B

$bold italic X bold times bold italic A bold equals bold italic B$

En aquest cas multipliquem per la dreta tota l'equació per la inversa de A

XA·A^-1= B·A^-1

Com que A·A^-1= I (matriu identitat):

X = B·A^-1

En el cas de l'exemple volem la matriu X tal que A·X=B

Per tant:

$space space space space space space space space space space A times X equals B space A to the power of negative 1 end exponent times A times X equals A to the power of negative 1 end exponent times B space space space space rightwards double arrow X equals A to the power of negative 1 end exponent times B$

Ara necessitem A^-1 (l'hem calculat en Matriu inversa)

$A to the power of negative 1 end exponent equals 1 over 7 open parentheses table row 3 1 row cell negative 1 space end cell 2 end table close parentheses$

Per tant:

$X equals A to the power of negative 1 end exponent times B equals 1 over 7 open parentheses table row 3 1 row cell negative 1 space end cell 2 end table close parentheses times open parentheses table row cell negative 4 end cell 8 3 row 5 4 cell negative 2 end cell end table close parentheses equals 1 over 7 open parentheses table row cell negative 7 space end cell cell 28 space end cell 7 row 14 0 cell negative 7 end cell end table close parentheses equals open parentheses table row cell bold minus bold 1 end cell bold 4 bold 1 row bold 2 bold 0 cell bold minus bold 1 end cell end table close parentheses$

Observació: Si la matriu A no té inversa obligatòriament ho hem de fer plantejant un sistema d'equacions.

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

8. Sistemes matricials