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6. Rang d'una matriu

Definició

El rang d'una matriu és el nombre de files (o columnes) independents que té la matriu.

I que vol dir que les files siguin independents?

Si, per exemple, tenim la matriu 

espace espace espace espace espace espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 2 3 5 ligne 1 3 cellule moins 8 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse

Veiem que la fila 3 la podem obtenir combinant les altres dues files:

F3 = 3F1  - F2

Es diu que la fila 3 és combinació lineal de la fila 1 i la fila 2. O també es diu que la fila 2 és depenent de la 1 i la 2. 

Llavors el rang d'aquesta matriu serà 2 ja que hi ha 2 files independents (observem que la fila 2 no la podem obtenir com la fila 1 multiplicada per un nombre, per tant la fila 1 i la 2 són independents) .

A vegades es pot veure a ull, però normalment no és tan obvi.  Veiem com fem el càlcul.

                             

Càlcul del rang d'una matriu.

1) Si la matriu és esglaonada.

     El rang d'una matriu esglaonada és el nombre de files no nul·les de la matriu. 

    Exemples

    espace r a n g espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 0 cellule moins 1 fin de cellule 7 ligne 0 0 0 fin de table fermer la parenthèse égal à 2 espace espace espace espace espace espace espace espace r a n g espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 3 cellule moins 1 fin de cellule ligne 0 1 5 ligne 0 0 3 fin de table fermer la parenthèse égal à 3 espace espace espace espace espace espace espace espace espace r a n g espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 0 cellule moins 1 fin de cellule 3 ligne 0 0 5 fin de table table ligne 1 ligne 1 ligne 2 fin de table fermer la parenthèse égal à 3

                   

2) Si la matriu no és esglaonada.

     Fem transformacions elementals per esglaonar la matriu. D'aquesta manera el rang de la matriu serà el mateix que el de la matriu esglaonada que s'obté.

     Heu de mirar els subapartats:    

           - Transformacions elementals 
           - Esglaonar una matriu

      Exemple:  
     Calculeu el rang de la matriu  espace espace espace A égal à espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 2 3 5 ligne 1 3 cellule moins 8 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse espace espace espace

     Esglaonem la matriu fem transformacions elementals:

espace espace espace espace espace espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 2 3 5 ligne 1 3 cellule moins 8 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse flèche vers la droite espace espace table ligne blank ligne cellule moins 2 f indice 1 plus f indice 2 fin de cellule ligne cellule f indice 3 moins f indice 1 fin de cellule fin de table espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 0 cellule moins 1 fin de cellule 7 ligne 0 1 cellule moins 7 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse flèche vers la droite espace espace table ligne blank ligne blank ligne cellule f indice 3 plus f indice 2 fin de cellule fin de table espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 0 cellule moins 1 fin de cellule 7 ligne 0 0 0 fin de table fermer la parenthèse espace espace
    Per tant, com que queden dues files no nul·les, el rang d'aquesta matriu esglaonada és 2. 

     rang A = 2

   Observació:  entre pas i pas dels esglaonaments he posat el símbol flèche vers la droite

                     Podem posar  flèche vers la droite,  ; ,  res,    però mai el símbol d'igualtat = ja que les matrius no són iguals.  

Vídeo: 

Vídeo Escalonar matriz 

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