Anterior
Siguiente

6. Rang d'una matriu

Definició

El rang d'una matriu és el nombre de files (o columnes) independents que té la matriu.

I que vol dir que les files siguin independents?

Si, per exemple, tenim la matriu 

espacio espacio espacio espacio espacio espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 2 3 5 fila 1 3 celda menos 8 fin celda fin tabla cerrar paréntesis

Veiem que la fila 3 la podem obtenir combinant les altres dues files:

F3 = 3F1  - F2

Es diu que la fila 3 és combinació lineal de la fila 1 i la fila 2. O també es diu que la fila 2 és depenent de la 1 i la 2. 

Llavors el rang d'aquesta matriu serà 2 ja que hi ha 2 files independents (observem que la fila 2 no la podem obtenir com la fila 1 multiplicada per un nombre, per tant la fila 1 i la 2 són independents) .

A vegades es pot veure a ull, però normalment no és tan obvi.  Veiem com fem el càlcul.

                             

Càlcul del rang d'una matriu.

1) Si la matriu és esglaonada.

     El rang d'una matriu esglaonada és el nombre de files no nul·les de la matriu. 

    Exemples

    espacio r a n g espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 0 celda menos 1 fin celda 7 fila 0 0 0 fin tabla cerrar paréntesis igual 2 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio r a n g espacio abrir paréntesis tabla fila 1 3 celda menos 1 fin celda fila 0 1 5 fila 0 0 3 fin tabla cerrar paréntesis igual 3 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio r a n g espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 0 celda menos 1 fin celda 3 fila 0 0 5 fin tabla tabla fila 1 fila 1 fila 2 fin tabla cerrar paréntesis igual 3

                   

2) Si la matriu no és esglaonada.

     Fem transformacions elementals per esglaonar la matriu. D'aquesta manera el rang de la matriu serà el mateix que el de la matriu esglaonada que s'obté.

     Heu de mirar els subapartats:    

           - Transformacions elementals 
           - Esglaonar una matriu

      Exemple:  
     Calculeu el rang de la matriu  espacio espacio espacio A igual espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 2 3 5 fila 1 3 celda menos 8 fin celda fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio espacio

     Esglaonem la matriu fem transformacions elementals:

espacio espacio espacio espacio espacio espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 2 3 5 fila 1 3 celda menos 8 fin celda fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha espacio espacio tabla fila blank fila celda menos 2 f subíndice 1 más f subíndice 2 fin celda fila celda f subíndice 3 menos f subíndice 1 fin celda fin tabla espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 0 celda menos 1 fin celda 7 fila 0 1 celda menos 7 fin celda fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha espacio espacio tabla fila blank fila blank fila celda f subíndice 3 más f subíndice 2 fin celda fin tabla espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 0 celda menos 1 fin celda 7 fila 0 0 0 fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio
    Per tant, com que queden dues files no nul·les, el rang d'aquesta matriu esglaonada és 2. 

     rang A = 2

   Observació:  entre pas i pas dels esglaonaments he posat el símbol flecha derecha

                     Podem posar  flecha derecha,  ; ,  res,    però mai el símbol d'igualtat = ja que les matrius no són iguals.  

Vídeo: 

Vídeo Escalonar matriz 

Anterior
Siguiente