Previous
Next

6. Rang d'una matriu

Definició

El rang d'una matriu és el nombre de files (o columnes) independents que té la matriu.

I que vol dir que les files siguin independents?

Si, per exemple, tenim la matriu 

space space space space space space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 2 3 5 row 1 3 cell negative 8 end cell end table close parentheses

Veiem que la fila 3 la podem obtenir combinant les altres dues files:

F3 = 3F1  - F2

Es diu que la fila 3 és combinació lineal de la fila 1 i la fila 2. O també es diu que la fila 2 és depenent de la 1 i la 2. 

Llavors el rang d'aquesta matriu serà 2 ja que hi ha 2 files independents (observem que la fila 2 no la podem obtenir com la fila 1 multiplicada per un nombre, per tant la fila 1 i la 2 són independents) .

A vegades es pot veure a ull, però normalment no és tan obvi.  Veiem com fem el càlcul.

                             

Càlcul del rang d'una matriu.

1) Si la matriu és esglaonada.

     El rang d'una matriu esglaonada és el nombre de files no nul·les de la matriu. 

    Exemples

    space r a n g space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 0 cell negative 1 end cell 7 row 0 0 0 end table close parentheses equals 2 space space space space space space space space r a n g space open parentheses table row 1 3 cell negative 1 end cell row 0 1 5 row 0 0 3 end table close parentheses equals 3 space space space space space space space space space r a n g space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 0 cell negative 1 end cell 3 row 0 0 5 end table table row 1 row 1 row 2 end table close parentheses equals 3

                   

2) Si la matriu no és esglaonada.

     Fem transformacions elementals per esglaonar la matriu. D'aquesta manera el rang de la matriu serà el mateix que el de la matriu esglaonada que s'obté.

     Heu de mirar els subapartats:    

           - Transformacions elementals 
           - Esglaonar una matriu

      Exemple:  
     Calculeu el rang de la matriu  space space space A equals space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 2 3 5 row 1 3 cell negative 8 end cell end table close parentheses space space space

     Esglaonem la matriu fem transformacions elementals:

space space space space space space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 2 3 5 row 1 3 cell negative 8 end cell end table close parentheses rightwards arrow space space table row blank row cell negative 2 f subscript 1 plus f subscript 2 end cell row cell f subscript 3 minus f subscript 1 end cell end table space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 0 cell negative 1 end cell 7 row 0 1 cell negative 7 end cell end table close parentheses rightwards arrow space space table row blank row blank row cell f subscript 3 plus f subscript 2 end cell end table space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 0 cell negative 1 end cell 7 row 0 0 0 end table close parentheses space space
    Per tant, com que queden dues files no nul·les, el rang d'aquesta matriu esglaonada és 2. 

     rang A = 2

   Observació:  entre pas i pas dels esglaonaments he posat el símbol rightwards arrow

                     Podem posar  rightwards arrow,  ; ,  res,    però mai el símbol d'igualtat = ja que les matrius no són iguals.  

Vídeo: 

Vídeo Escalonar matriz 

Previous
Next