Anterior
Següent

7. Error freqüent (i greu) en el càlcul de rangs

Quan es calcula el rang d'una matriu sovint es comet un error greu. És referent a les transformacions elementals en una matriu. Recordeu que les transformacions elementals conserven el rang de la matriu. L'error és fer això:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 2}\\ 0 & { - 5} & 8\\ 0 & { - 5} & 8\\ \end{array}} \right) \to \,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {{F_2} - {F_3}}\\ {{F_3} - {F_2}}\\ \end{array}\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 2}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}} \right) NO!

Això no és correcte perquè els passos s'han de fer d'un en un. És a dir, si en la segona fila fem F2-F3, ens quedarà:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 2}\\ 0 & { - 5} & 8\\ 0 & { - 5} & 8\\ \end{array}} \right) \to \,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {{F_2} - {F_3}}\\ \end{array}\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 2}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & { - 5} & 8\\ \end{array}} \right)

I encara que ara en aquesta nova matriu féssim la tercera fila menys la segona, no se'ns anul·laria. Per tant el que s'ha de fer és esglaonar la matriu pas a pas.És a dir, quan tenim

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 2}\\ 0 & { - 5} & 8\\ 0 & { - 5} & 8\\ \end{array}} \right)

les dues primeres files les deixem i ara "fem un zero" combinant la tercera amb la 2a:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 2}\\ 0 & { - 5} & 8\\ 0 & { - 5} & 8\\ \end{array}} \right) \to \,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {}\\ {{F_3} - {F_2}}\\ \end{array}\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 2}\\ 0 & { - 5} & 8\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}} \right)

i, per tant, el rang de la matriu és 2.

De la mateixa manera no és correcte, per exemple, aquest pas ( o alguna cosa similar):

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 2}\\ 1 & 5 & 1\\ 1 & 1 & 3\\ \end{array}} \right) \to \,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {{F_2} - {F_3}}\\ {{F_3} - {F_2}}\\ \end{array}\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 2}\\ 0 & 4 & { - 2}\\ 0 &{- 4} & 2\\ \end{array}} \right) NO!

(si això es pogués fer sempre podríem arribar a rang 1 !)

Anterior
Següent