Resum Matrius

Definició

 Donada una matriu quadrada A, la seva matriu inversa A^-1, si existeix, és la matriu que compleix:

                       $\mathit{A}\mathbf{·}{\mathit{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}{\mathit{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{·}\mathit{A}\mathbf{=}\mathit{I}$

on I és la matriu Identitat.

En aquest bloc ens limitarem al càlcul de matrius inverses d'ordre 2x2.

Ho podem fer de dues maneres. Ho veurem amb un exemple.

Exemple 

Calcular la inversa de la matriu  $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$

· Càlcul de la matriu inversa a partir de la definició.

  Plantegem un sistema d'equacions, ja que volem una matriu X tal que 

                                               $A·X=I$

  És a dir:

                 $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

                 $$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cc}2a-c& 2b-d\\ a+3c& b+3d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right) \\ \left.\begin{array}{r}2a-c=1\\ a+3c=0\end{array}\right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{r}6a-3c=3\\ a+3c=0\end{array}\right\} \Rightarrow 7a=3 \Rightarrow a=\frac{3}{7} \\ 3c=-a=-\frac{3}{7} \Rightarrow c=-\frac{3}{3·7}=-\frac{1}{7} \end{gathered}$$

                    $$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cc}2a-c& 2b-d\\ a+3c& b+3d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right) \\ \left.\begin{array}{r}2b-d=0\\ b+3d=1\end{array}\right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{r}6b-3d=0\\ b+3d=1\end{array}\right\} \Rightarrow 7b=1 \Rightarrow b=\frac{1}{7} \\ 3d=1-b=1-\frac{1}{7} =\frac{6}{7} \Rightarrow d=\frac{6}{3·7}=\frac{2}{7} \end{gathered}$$

                    Per tant: 

                    $A^{-1}=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$          

· Càlcul de la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan 

  De fet és el mateix que hem fet a dalt però ho expressem en forma matricial: 

  Es tracta de palntejar la matriu ampliada:

   $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}& \overline{) \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}}\end{array}\right)$ 

   Hem de fer transformacions elementals fins que en la part esquerra ens quedi la matriu identitat: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 

   $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}& \overline{) \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}}\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& -7\end{array}& \overline{) \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -2\end{array}}\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-14& 0\\ 0& -7\end{array}& \overline{) \begin{array}{cc}-6& -2\\ 1& -2\end{array}}\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}& \overline{) \begin{array}{cc}3/7& 1/7\\ -1/7& 2/7\end{array}}\end{array}\right)$

    Per tant:      

     $A^{-1}=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$

Observacions:

- El procediment per trobar la inversa de matrius quadrades de qualsevol ordre major és el mateix.  Simplement pot sortir més llarg de càlculs.  

- No sempre existeix la matriu inversa d'una matriu.
  Fixeu-vos que, amb el primer mètode, el sistema que plantegem podria ser que no tingués solució.
  O amb el segon mètode podria ser que no poguéssim  obtenir la matriu identitat a l'esquerra.
  La condició perquè una mateix quadrada tingui inversa és que el seu determinant no sigui 0 però això ho veurem en el següent lliurament.

- Hi ha un tercer mètode però utilitza els determinants (que s'estudien en el lliurament 2).