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3. Operacions amb matrius

Suma de matrius.

Per tal que dues matrius es puguin sumar han de ser del mateix ordre. 

Donades dues matrius del mateix ordre début de style de taille 14px A égal à parenthèse gauche a indice i j fin d'indice parenthèse droite espace espace i espace espace B égal à parenthèse gauche b indice i j fin d'indice parenthèse droite fin de style, la matriu suma de A i B és la que s'obté de la suma de cada terme de A amb el corresponent de B:

                                                 début de style de taille 14px A plus B égal à parenthèse gauche a indice i j fin d'indice plus b indice i j fin d'indice parenthèse droite fin de style

Exemple

A égal à ouvrir la parenthèse table ligne 1 3 ligne cellule moins 1 fin de cellule 5 ligne 0 2 fin de table fermer la parenthèse virgule espace espace B égal à ouvrir la parenthèse table ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 1 0 ligne 1 3 fin de table fermer la parenthèse espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace A plus B égal à ouvrir la parenthèse table ligne 3 2 ligne 0 5 ligne 1 5 fin de table fermer la parenthèse

Observació:

La resta de dos matrius la considerem com:

       A moins B égal à A plus parenthèse gauche moins B parenthèse droite

       sent  moins B la matriu oposada a la B, que és la matriu B canviats de signe tots els seus elements


Producte d'un nombre per una matriu.

Es multiplica cada element de la matriu pel nombre. 

Exemple

A égal à ouvrir la parenthèse table ligne 1 3 ligne cellule moins 1 fin de cellule 5 ligne 0 2 fin de table fermer la parenthèse espace double flèche vers la droite espace espace espace 3 A égal à ouvrir la parenthèse table ligne 3 9 ligne cellule moins 3 fin de cellule 15 ligne 0 6 fin de table fermer la parenthèse

                        

Producte de matrius.

La condició per tal que dues matrius es puguin multiplicar és que el nombre de columnes de la primera matriu sigui igual al nombre de files de la segona matriu.

O sigui, per poder fer el producte A·B, la condició és:

            nombre de columnes de A  =  nombre files de B

I llavors:

   A és de dimensió m x k
   B és de dimensió k x n
        =>   A·B és de dimensió m x n

Per exemple, si multipliquem una matriu A  3x3 per una  B 3x2,  el producte A·B es pot fer i és una matriu de dimensió  3x2   (el producte B·A no seria possible).

Important: El producte de matrius no és commutatiu.

Obtenció de la matriu producte.

a) Primer veiem el producte d'una matriu fila F1  per una matriu columna C1

  F indice 1 fois C indice 1 égal à ouvrir la parenthèse a indice 11 espace espace fin d'indice a indice 12 espace.... espace a indice 1 n fin d'indice fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse table ligne cellule b indice 11 fin de cellule ligne cellule b indice 21 fin de cellule ligne cellule... fin de cellule ligne cellule b indice n 1 fin d'indice fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à a indice 11 fois b indice 11 plus a indice 12 fois b indice 21 plus....... plus a indice 1 n fin d'indice fois b indice n 1 fin d'indice

Exemple

  ouvrir la parenthèse 2 espace espace 3 espace espace moins 1 fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse table ligne 5 ligne 0 ligne cellule moins 2 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à 2 fois 5 gras plus 3 fois 0 gras plus parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite fois parenthèse gauche moins 2 parenthèse droite égal à 10 plus 0 plus 2 égal à 12

b) Cas general: producte d'una matriu A d'ordre (n,m) per una matriu B d'ordre (m,k)

espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace F indice 1 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace C indice 1 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace C indice k ouvrir la parenthèse table ligne cellule cadre englobant a indice 11 espace espace a indice 12 espace espace..... espace espace a indice 1 m fin d'indice fin fin de cellule ligne cellule table ligne cellule... espace espace espace espace... espace espace espace espace...... espace espace... fin de cellule ligne cellule espace... espace espace espace espace... espace espace espace espace...... espace espace... espace fin de cellule fin de table espace espace espace fin de cellule ligne cellule cadre englobant a indice n 1 fin d'indice espace espace a indice n 2 fin d'indice espace espace..... espace espace a indice bold italic n bold italic m fin d'indice fin fin de cellule fin de table fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse cadre englobant table ligne cellule b indice 11 fin de cellule ligne cellule table ligne cellule... fin de cellule ligne cellule... fin de cellule fin de table fin de cellule ligne cellule b indice m 1 fin d'indice fin de cellule fin de table fin espace table ligne cellule... fin de cellule ligne cellule table ligne cellule... fin de cellule ligne cellule... fin de cellule fin de table fin de cellule ligne cellule... fin de cellule fin de table cadre englobant table ligne cellule b indice 1 k fin d'indice fin de cellule ligne cellule table ligne cellule... fin de cellule ligne cellule... fin de cellule fin de table fin de cellule ligne cellule b indice bold italic m bold italic k fin d'indice fin de cellule fin de table fin fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule F indice 1 fois C indice 1 espace fin de cellule cellule F indice 1 fois C indice 2 espace fin de cellule cellule... fin de cellule cellule espace F indice 1 fois C indice k fin de cellule ligne cellule F indice 2 fois C indice 1 fin de cellule cellule F indice 2 fois C indice 2 fin de cellule cellule... fin de cellule cellule F indice 2 fois C indice k fin de cellule ligne cellule... fin de cellule cellule... fin de cellule cellule... fin de cellule cellule... fin de cellule ligne cellule F indice n fois C indice 1 fin de cellule cellule F indice n fois C indice 2 fin de cellule blank cellule F indice n fois C indice k fin de cellule fin de table fermer la parenthèse espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace F indice n espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace

Exemple 1

A ordre (1,3), B ordre (3,2)   =>    A·B ordre (1,2)

 A fois B égal à ouvrir la parenthèse table ligne gras 1 cellule gras moins gras 1 fin de cellule gras 3 fin de table fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse table ligne gras 4 1 ligne gras 0 6 ligne cellule gras moins gras 1 fin de cellule 2 fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule gras 1 gras fois gras 4 gras moins gras 1 gras fois gras 0 gras plus gras 3 gras fois gras parenthèse gauche gras moins gras 1 gras parenthèse droite gras espace gras espace gras espace fin de cellule cellule 1 fois 1 plus parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite fois 6 plus 3 fois 2 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à espace ouvrir la parenthèse 1 espace espace espace 1 fermer la parenthèse

Exemple 2

A ordre (2,3), B ordre (3,2)   =>    A·B ordre (2,2)

 A fois B égal à ouvrir la parenthèse table ligne gras 1 cellule gras moins gras 1 fin de cellule gras 3 ligne 2 0 5 fin de table fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse table ligne gras 4 1 ligne gras 0 6 ligne cellule gras moins gras 1 fin de cellule 2 fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule gras 1 gras fois gras 4 gras moins gras 1 gras fois gras 0 gras plus gras 3 gras fois gras parenthèse gauche gras moins gras 1 gras parenthèse droite gras espace fin de cellule cellule 1 fois 1 plus parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite fois 6 plus 3 fois 2 fin de cellule ligne cellule 2 fois 4 plus 0 fois 0 plus 5 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite fin de cellule cellule espace espace 2 fois 1 plus 0 fois 6 plus 5 fois 2 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule 1 espace fin de cellule 1 ligne cellule 3 espace fin de cellule 12 fin de table fermer la parenthèse

Exemple 3

A ordre (3,3), B ordre (3,2)   =>    A·B ordre (3,2)

 ouvrir la parenthèse table ligne gras 1 cellule gras moins gras 1 fin de cellule gras 3 ligne 2 0 5 ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 1 fin de table fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse table ligne gras 4 1 ligne gras 0 6 ligne cellule gras moins gras 1 fin de cellule 2 fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule gras 1 gras fois gras 4 gras moins gras 1 gras fois gras 0 gras plus gras 3 gras fois gras parenthèse gauche gras moins gras 1 gras parenthèse droite fin de cellule cellule espace espace 1 fois 1 plus parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite fois 6 plus 3 fois 2 fin de cellule ligne cellule 2 fois 4 plus 0 fois 0 plus 5 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite fin de cellule cellule espace espace 2 fois 1 plus 0 fois 6 plus 5 fois 2 fin de cellule ligne cellule 1 fois 4 moins 2 fois 0 plus 1 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite espace espace fin de cellule cellule 1 fois 1 plus parenthèse gauche moins 2 parenthèse droite fois 6 plus 1 fois 2 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne 1 1 ligne 3 12 ligne 3 cellule espace moins 9 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse

Observació: En els exemples 1 i 3  no és possible fer el producte B·A


Potència d'una matriu.

Expressem com a A puissance n el producte de la matriu A per ella mateixa n vegades.  O sigui:

     A au carré égal à A fois A A au cube égal à A fois A fois A A puissance 4 égal à A fois A fois A fois A fois fois fois fois fois

Observacions: 

- Per poder fer début de style de taille 14px A fois A fin de style, la matriu A ha de ser quadrada. 

- Per calcular A3  primer calcularem A2 i desprès podem fer A au carré fois A  o   A fois A au carré   


Vídeo producte de matrius 


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