Previous
Next

3. Operacions amb matrius

Suma de matrius.

Per tal que dues matrius es puguin sumar han de ser del mateix ordre. 

Donades dues matrius del mateix ordre begin mathsize 14px style A equals left parenthesis a subscript i j end subscript right parenthesis space space i space space B equals left parenthesis b subscript i j end subscript right parenthesis end style, la matriu suma de A i B és la que s'obté de la suma de cada terme de A amb el corresponent de B:

                                                 begin mathsize 14px style A plus B equals left parenthesis a subscript i j end subscript plus b subscript i j end subscript right parenthesis end style

Exemple

A equals open parentheses table row 1 3 row cell negative 1 end cell 5 row 0 2 end table close parentheses comma space space B equals open parentheses table row 2 cell negative 1 end cell row 1 0 row 1 3 end table close parentheses space space space space rightwards double arrow space space A plus B equals open parentheses table row 3 2 row 0 5 row 1 5 end table close parentheses

Observació:

La resta de dos matrius la considerem com:

       A minus B equals A plus left parenthesis negative B right parenthesis

       sent  negative B la matriu oposada a la B, que és la matriu B canviats de signe tots els seus elements


Producte d'un nombre per una matriu.

Es multiplica cada element de la matriu pel nombre. 

Exemple

A equals open parentheses table row 1 3 row cell negative 1 end cell 5 row 0 2 end table close parentheses space rightwards double arrow space space space 3 A equals open parentheses table row 3 9 row cell negative 3 end cell 15 row 0 6 end table close parentheses

                        

Producte de matrius.

La condició per tal que dues matrius es puguin multiplicar és que el nombre de columnes de la primera matriu sigui igual al nombre de files de la segona matriu.

O sigui, per poder fer el producte A·B, la condició és:

            nombre de columnes de A  =  nombre files de B

I llavors:

   A és de dimensió m x k
   B és de dimensió k x n
        =>   A·B és de dimensió m x n

Per exemple, si multipliquem una matriu A  3x3 per una  B 3x2,  el producte A·B es pot fer i és una matriu de dimensió  3x2   (el producte B·A no seria possible).

Important: El producte de matrius no és commutatiu.

Obtenció de la matriu producte.

a) Primer veiem el producte d'una matriu fila F1  per una matriu columna C1

  F subscript 1 times C subscript 1 equals open parentheses a subscript 11 space space end subscript a subscript 12 space.... space a subscript 1 n end subscript close parentheses times open parentheses table row cell b subscript 11 end cell row cell b subscript 21 end cell row cell... end cell row cell b subscript n 1 end subscript end cell end table close parentheses equals a subscript 11 times b subscript 11 plus a subscript 12 times b subscript 21 plus....... plus a subscript 1 n end subscript times b subscript n 1 end subscript

Exemple

  open parentheses 2 space space 3 space space minus 1 close parentheses times open parentheses table row 5 row 0 row cell negative 2 end cell end table close parentheses equals 2 times 5 bold plus 3 times 0 bold plus left parenthesis negative 1 right parenthesis times left parenthesis negative 2 right parenthesis equals 10 plus 0 plus 2 equals 12

b) Cas general: producte d'una matriu A d'ordre (n,m) per una matriu B d'ordre (m,k)

space space space space space space space space space space space space space F subscript 1 space space space space space space space space space space space space space space space space C subscript 1 space space space space space space space space space space C subscript k open parentheses table row cell box enclose a subscript 11 space space a subscript 12 space space..... space space a subscript 1 m end subscript end enclose end cell row cell table row cell... space space space space... space space space space...... space space... end cell row cell space... space space space space... space space space space...... space space... space end cell end table space space space end cell row cell box enclose a subscript n 1 end subscript space space a subscript n 2 end subscript space space..... space space a subscript bold italic n bold italic m end subscript end enclose end cell end table close parentheses times open parentheses box enclose table row cell b subscript 11 end cell row cell table row cell... end cell row cell... end cell end table end cell row cell b subscript m 1 end subscript end cell end table end enclose space table row cell... end cell row cell table row cell... end cell row cell... end cell end table end cell row cell... end cell end table box enclose table row cell b subscript 1 k end subscript end cell row cell table row cell... end cell row cell... end cell end table end cell row cell b subscript bold italic m bold italic k end subscript end cell end table end enclose close parentheses equals open parentheses table row cell F subscript 1 times C subscript 1 space end cell cell F subscript 1 times C subscript 2 space end cell cell... end cell cell space F subscript 1 times C subscript k end cell row cell F subscript 2 times C subscript 1 end cell cell F subscript 2 times C subscript 2 end cell cell... end cell cell F subscript 2 times C subscript k end cell row cell... end cell cell... end cell cell... end cell cell... end cell row cell F subscript n times C subscript 1 end cell cell F subscript n times C subscript 2 end cell blank cell F subscript n times C subscript k end cell end table close parentheses space space space space space space space space space space space space space space space space space space F subscript n space space space space space space space space space space space space

Exemple 1

A ordre (1,3), B ordre (3,2)   =>    A·B ordre (1,2)

 A times B equals open parentheses table row bold 1 cell bold minus bold 1 end cell bold 3 end table close parentheses times open parentheses table row bold 4 1 row bold 0 6 row cell bold minus bold 1 end cell 2 end table close parentheses equals open parentheses table row cell bold 1 bold times bold 4 bold minus bold 1 bold times bold 0 bold plus bold 3 bold times bold left parenthesis bold minus bold 1 bold right parenthesis bold space bold space bold space end cell cell 1 times 1 plus left parenthesis negative 1 right parenthesis times 6 plus 3 times 2 end cell end table close parentheses equals space open parentheses 1 space space space 1 close parentheses

Exemple 2

A ordre (2,3), B ordre (3,2)   =>    A·B ordre (2,2)

 A times B equals open parentheses table row bold 1 cell bold minus bold 1 end cell bold 3 row 2 0 5 end table close parentheses times open parentheses table row bold 4 1 row bold 0 6 row cell bold minus bold 1 end cell 2 end table close parentheses equals open parentheses table row cell bold 1 bold times bold 4 bold minus bold 1 bold times bold 0 bold plus bold 3 bold times bold left parenthesis bold minus bold 1 bold right parenthesis bold space end cell cell 1 times 1 plus left parenthesis negative 1 right parenthesis times 6 plus 3 times 2 end cell row cell 2 times 4 plus 0 times 0 plus 5 times left parenthesis negative 1 right parenthesis end cell cell space space 2 times 1 plus 0 times 6 plus 5 times 2 end cell end table close parentheses equals open parentheses table row cell 1 space end cell 1 row cell 3 space end cell 12 end table close parentheses

Exemple 3

A ordre (3,3), B ordre (3,2)   =>    A·B ordre (3,2)

 open parentheses table row bold 1 cell bold minus bold 1 end cell bold 3 row 2 0 5 row 1 cell negative 2 end cell 1 end table close parentheses times open parentheses table row bold 4 1 row bold 0 6 row cell bold minus bold 1 end cell 2 end table close parentheses equals open parentheses table row cell bold 1 bold times bold 4 bold minus bold 1 bold times bold 0 bold plus bold 3 bold times bold left parenthesis bold minus bold 1 bold right parenthesis end cell cell space space 1 times 1 plus left parenthesis negative 1 right parenthesis times 6 plus 3 times 2 end cell row cell 2 times 4 plus 0 times 0 plus 5 times left parenthesis negative 1 right parenthesis end cell cell space space 2 times 1 plus 0 times 6 plus 5 times 2 end cell row cell 1 times 4 minus 2 times 0 plus 1 times left parenthesis negative 1 right parenthesis space space end cell cell 1 times 1 plus left parenthesis negative 2 right parenthesis times 6 plus 1 times 2 end cell end table close parentheses equals open parentheses table row 1 1 row 3 12 row 3 cell space minus 9 end cell end table close parentheses

Observació: En els exemples 1 i 3  no és possible fer el producte B·A


Potència d'una matriu.

Expressem com a A to the power of n el producte de la matriu A per ella mateixa n vegades.  O sigui:

     A squared equals A times A A cubed equals A times A times A A to the power of 4 equals A times A times A times A times times times times times

Observacions: 

- Per poder fer begin mathsize 14px style A times A end style, la matriu A ha de ser quadrada. 

- Per calcular A3  primer calcularem A2 i desprès podem fer A squared times A  o   A times A squared   


Vídeo producte de matrius 


Previous
Next