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LÍMITS. Concepte

Resolució indeterminació ∞/∞

Com resolc la indeterminació fracción negrita infinito entre negrita infinito?

Dependrà de l'expressió . Bàsicament ens podem trobar amb dos casos:

CAS A:

L'expressió és una divisió entre dos polinomis. En aquest cas procedim a comparar els graus dels polinomis

Imaginem que l'expressió és del tipus fracción numerador p paréntesis izquierdo x paréntesis derecho entre denominador q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin fracción espacio espacio o n espacio p paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual a x elevado a m más... espacio espacio espacio espacio i espacio q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual b x elevado a n más... i m i n són els termes de major grau dels polinomis p(x) i q(x). Llavors:

  •  S i espacio espacio g r a u paréntesis izquierdo p paréntesis izquierdo x paréntesis derecho paréntesis derecho mayor que g r a u paréntesis izquierdo q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho paréntesis derecho espacio espacio flecha derecha límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador p paréntesis izquierdo x paréntesis derecho entre denominador q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin fracción igual límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador a x elevado a m entre denominador b x elevado a n fin fracción igual límite cuando x flecha derecha infinito de fracción a entre b x elevado a m menos n fin elevado igual más-menos infinito
  • S i espacio espacio g r a u paréntesis izquierdo p paréntesis izquierdo x paréntesis derecho paréntesis derecho menor que g r a u paréntesis izquierdo q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho paréntesis derecho espacio espacio flecha derecha límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador p paréntesis izquierdo x paréntesis derecho entre denominador q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin fracción igual límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador a x elevado a m entre denominador b x elevado a n fin fracción igual 0
  • S i espacio espacio g r a u paréntesis izquierdo p paréntesis izquierdo x paréntesis derecho paréntesis derecho igual g r a u paréntesis izquierdo q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho paréntesis derecho espacio espacio flecha derecha límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador p paréntesis izquierdo x paréntesis derecho entre denominador q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin fracción igual límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador a x elevado a m entre denominador b x elevado a n fin fracción igual límite cuando x flecha derecha infinito de fracción a entre b igual fracción a entre b

CAS B:

L'expressió és una fracció on el numerador o el denominador no tenen perquè ser polinomis. Per exemple pot aparèixer la funció exponencial o la logarítmica

En aquest cas procedim a mirar quina de les dues expressions (numerador o denominador) tendeix més ràpidament cap a infinit.

Les funcions exponencials són les que creixen més ràpidament, després van les polinòmiques i les últimes són les logarítmiques. El que fem és doncs considerar el límit de la que creix més lentament com si fòs una constant (del mateix signe que l'expressió) i tornem a fer el límit.

Exemple 1 (CAS A):

límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador 7 x menos x al cuadrado entre denominador 49 más 2 x al cuadrado fin fracción igual fracción numerador menos infinito entre denominador más infinito fin fracción espacio i n d e t espacio igual límite cuando x más infinito de fracción numerador menos x al cuadrado entre denominador 2 x al cuadrado fin fracción igual límite cuando x más infinito de fracción numerador menos 1 entre denominador 2 fin fracción igual espacio envoltorio caja menos 1 medio fin envoltorio

Exemple 2 (CAS A):

límite cuando x flecha derecha menos infinito de fracción numerador menos 2 x más 1 entre denominador espacio espacio x al cuadrado más 4 x menos 6 fin fracción igual fracción numerador más infinito entre denominador más infinito fin fracción espacio i n d e t espacio igual límite cuando x flecha derecha menos infinito de fracción numerador menos 2 x entre denominador espacio espacio x al cuadrado fin fracción igual límite cuando x flecha derecha menos infinito de fracción numerador menos 2 entre denominador espacio espacio x fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador menos infinito fin fracción igual espacio envoltorio caja 0

Exemple 3 (CAS A):

límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador menos 2 x elevado a 4 más 1 entre denominador espacio 4 x al cuadrado menos 6 x fin fracción igual fracción numerador menos infinito entre denominador más infinito fin fracción espacio i n d e t espacio igual límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador menos 2 x elevado a 4 entre denominador espacio 4 x al cuadrado fin fracción igual límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador menos 2 x al cuadrado entre denominador espacio 4 fin fracción igual límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador menos 1 entre denominador espacio 2 fin fracción x al cuadrado igual fracción numerador menos 1 entre denominador espacio 2 fin fracción por paréntesis izquierdo más infinito paréntesis derecho igual espacio envoltorio caja espacio menos infinito espacio fin envoltorio

Exemple 4 (CAS B):

límite cuando espacio espacio espacio espacio espacio x flecha derecha más infinito de espacio fracción numerador 2 x más e elevado a x entre denominador espacio espacio x más 2 fin fracción igual fracción numerador más infinito entre denominador más infinito fin fracción espacio i n d e t espacio igual límite cuando espacio espacio espacio espacio espacio x flecha derecha más infinito de espacio fracción numerador 2 x más e elevado a x entre denominador espacio espacio K fin fracción igual fracción numerador más infinito entre denominador k fin fracción igual espacio espacio envoltorio caja espacio más infinito espacio fin envoltorio espacio espacio espacio paréntesis izquierdo o n espacio k mayor que 0 paréntesis derecho

Exemple 5 (CAS B):

límite cuando espacio espacio espacio espacio espacio x flecha derecha más infinito de espacio fracción numerador log paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho entre denominador espacio espacio x más 2 fin fracción igual fracción numerador más infinito entre denominador más infinito fin fracción espacio i n d e t espacio igual límite cuando espacio espacio espacio espacio espacio x flecha derecha más infinito de espacio fracción numerador K entre denominador espacio espacio x más 2 fin fracción igual fracción numerador K entre denominador más infinito fin fracción igual espacio espacio envoltorio caja espacio 0 espacio fin envoltorio espacio espacio espacio paréntesis izquierdo o n espacio k mayor que 0 paréntesis derecho

Exemple 6 (CAS B):

límite cuando espacio espacio espacio espacio espacio x flecha derecha más infinito de espacio fracción numerador e elevado a x más 1 fin elevado entre denominador menos 2 espacio log paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho fin fracción igual fracción numerador más infinito entre denominador menos 2 paréntesis izquierdo más infinito paréntesis derecho fin fracción igual fracción numerador más infinito entre denominador menos infinito fin fracción espacio i n d e t espacio igual límite cuando espacio espacio espacio espacio espacio x flecha derecha más infinito de espacio fracción numerador e elevado a x más 1 fin elevado entre denominador espacio K fin fracción igual fracción numerador más infinito entre denominador k fin fracción igual espacio espacio envoltorio caja espacio menos infinito espacio fin envoltorio espacio espacio espacio paréntesis izquierdo o n espacio k menor que 0 paréntesis derecho

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