Resum conceptes bàsics del Lliurament 1: Resolució indeterminació ∞/∞

LÍMITS. Concepte

Resolució indeterminació ∞/∞

Com resolc la indeterminació $fett unendlichkeitszeichen geteilt durch fett unendlichkeitszeichen$ ?

Dependrà de l'expressió . Bàsicament ens podem trobar amb dos casos:

CAS A:

L'expressió és una divisió entre dos polinomis. En aquest cas procedim a comparar els graus dels polinomis

Imaginem que l'expressió és del tipus $Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis Leerzeichen Leerzeichen o n Leerzeichen p linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich a x hoch m plus... Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen i Leerzeichen q linke klammer x rechte klammer gleich b x hoch n plus...$ i m i n són els termes de major grau dels polinomis p(x) i q(x). Llavors:

$S i Leerzeichen Leerzeichen g r a u linke klammer p linke klammer x rechte klammer rechte klammer größer als g r a u linke klammer q linke klammer x rechte klammer rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler a x hoch m geteilt durch Nenner b x hoch n Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von a geteilt durch b x hoch m minus n Endexponent gleich plusminus unendlichkeitszeichen$
$S i Leerzeichen Leerzeichen g r a u linke klammer p linke klammer x rechte klammer rechte klammer kleiner als g r a u linke klammer q linke klammer x rechte klammer rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler a x hoch m geteilt durch Nenner b x hoch n Bruchergebnis gleich 0$
$S i Leerzeichen Leerzeichen g r a u linke klammer p linke klammer x rechte klammer rechte klammer gleich g r a u linke klammer q linke klammer x rechte klammer rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler a x hoch m geteilt durch Nenner b x hoch n Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von a geteilt durch b gleich a geteilt durch b$

CAS B:

L'expressió és una fracció on el numerador o el denominador no tenen perquè ser polinomis. Per exemple pot aparèixer la funció exponencial o la logarítmica

En aquest cas procedim a mirar quina de les dues expressions (numerador o denominador) tendeix més ràpidament cap a infinit.

Les funcions exponencials són les que creixen més ràpidament, després van les polinòmiques i les últimes són les logarítmiques. El que fem és doncs considerar el límit de la que creix més lentament com si fòs una constant (del mateix signe que l'expressió) i tornem a fer el límit.

Exemple 1 (CAS A):

$Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler 7 x minus x im Quadrat geteilt durch Nenner 49 plus 2 x im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler minus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus x im Quadrat geteilt durch Nenner 2 x im Quadrat Bruchergebnis gleich Limes als x plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 1 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen minus 1 halber Bruch Ende$

Exemple 2 (CAS A):

$Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x plus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x im Quadrat plus 4 x minus 6 Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x im Quadrat Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner minus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen 0$

Exemple 3 (CAS A):

$Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x hoch 4 plus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen 4 x im Quadrat minus 6 x Bruchergebnis gleich Zähler minus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x hoch 4 geteilt durch Nenner Leerzeichen 4 x im Quadrat Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x im Quadrat geteilt durch Nenner Leerzeichen 4 Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen 2 Bruchergebnis x im Quadrat gleich Zähler minus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen 2 Bruchergebnis mal linke klammer plus unendlichkeitszeichen rechte klammer gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Ende$

Exemple 4 (CAS B):

$Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler 2 x plus e hoch x geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x plus 2 Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler 2 x plus e hoch x geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen K Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner k Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen linke klammer o n Leerzeichen k größer als 0 rechte klammer$

Exemple 5 (CAS B):

$Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler log linke klammer x plus 1 rechte klammer geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x plus 2 Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler K geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x plus 2 Bruchergebnis gleich Zähler K geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 0 Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen linke klammer o n Leerzeichen k größer als 0 rechte klammer$

Exemple 6 (CAS B):

$Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler e hoch x plus 1 Endexponent geteilt durch Nenner minus 2 Leerzeichen log linke klammer x plus 1 rechte klammer Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner minus 2 linke klammer plus unendlichkeitszeichen rechte klammer Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner minus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler e hoch x plus 1 Endexponent geteilt durch Nenner Leerzeichen K Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner k Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen linke klammer o n Leerzeichen k kleiner als 0 rechte klammer$

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