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Teorema de la probabilitat total

Siguin A1,  A2 , ...., An  un conjunt d'esdeveniments complint :
  • són disjunts dos a dos, és a dir tenen intersecció buida entre ells A subíndice i intersección A subíndice j igual conjunto vacío espacio para todo i coma j
  • i la unió d'ells és tot l'espai mostral. A subíndice 1 unión A subíndice 2 unión.... unión A subíndice n igual mayúscula omega

Aleshores:

envoltorio caja P paréntesis izquierdo B paréntesis derecho igual P paréntesis izquierdo B intersección A subíndice 1 paréntesis derecho más P paréntesis izquierdo B intersección A subíndice 2 paréntesis derecho más por por por por más P paréntesis izquierdo B intersección A subíndice n paréntesis derecho igual P paréntesis izquierdo A subíndice 1 paréntesis derecho por P paréntesis izquierdo B dividido por A subíndice 1 paréntesis derecho más P paréntesis izquierdo A subíndice 2 paréntesis derecho por P paréntesis izquierdo B dividido por A subíndice 2 paréntesis derecho más.... más P paréntesis izquierdo A subíndice n paréntesis derecho por P paréntesis izquierdo B dividido por A subíndice n paréntesis derecho fin envoltorio


Teorema de Bayes

Siguin A1,  A2 , ...., An  un conjunt d'esdeveniments complint :

  • són disjunts dos a dos, és a dir tenen intersecció buida entre ells A subíndice i intersección A subíndice j igual conjunto vacío espacio para todo i coma j
  • i la unió d'ells és tot l'espai mostral. A subíndice 1 unión A subíndice 2 unión.... unión A subíndice n igual mayúscula omega

Aleshores:

envoltorio caja P paréntesis izquierdo A subíndice j dividido por B paréntesis derecho igual fracción numerador P paréntesis izquierdo A subíndice j paréntesis derecho por P paréntesis izquierdo B dividido por A subíndice j paréntesis derecho entre denominador P paréntesis izquierdo A subíndice 1 paréntesis derecho por P paréntesis izquierdo B dividido por A subíndice 1 paréntesis derecho más P paréntesis izquierdo A subíndice 2 paréntesis derecho por P paréntesis izquierdo B dividido por A subíndice 2 paréntesis derecho más.... más P paréntesis izquierdo A subíndice n paréntesis derecho por P paréntesis izquierdo B dividido por A subíndice n paréntesis derecho fin fracción fin envoltorio

Nota: En els exercicis on hem d'utilitzar aquests teoremes, sol ser convenient fer un esquema de l'experiment en forma de diagrama d'arbre. Llavors en general la pregunta s'acaba calculant a partir de sumar la probabilitat de les branques que verifiquen el que volem. Serà important identificar què vol dir cada branca i utilitzar una bona notació matemàtica a l'hora d'aplicar els teoremes.

Cal notar que el teorema de Bayes s'ha d'aplicar quan ens demanin probabilitats condicionades, és a dir que coneixem una condició que es dóna, (sabem una condició prèvia).


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