Resum dels conceptes bàsics de Probabilitat.

Exemple 2: l'oposició

El temari d'una oposició consta de 64 temes. Els opositors han d'escollir un tema entre tres que es trien a l'atzar.
Si un estudiant ha preparat 24 temes. Es demana:
a) Quina és la probabilitat que l'estudiant hagi estudiat els tres temes que surten?
b) Quina és la probabilitat que li surti algun dels temes estudiats?

---

1r. Intentem visualitzar l'experiment de forma més clara
Com es trien 3 dels 64 temes a l'atzar, suposem que tenim boles amb nombres de l'1 al 64 dins d'una bossa i en fem una darrera l'altra tres extraccions. En un principi a la bossa té 64 boles de les quals  24 corresponent a temes que s'ha preparat l'estudiant i 40 de temes no preparats. 
A la primera extracció hi ha una probabilitat de que sigui una bola corresponent a un tema estudiat (E) i una probabilitat de  que l'estudiant no l'hagi estudiat (NE).

Per la segona extracció queden 63 boles a la bossa, però la probabilitat que surti un dels temes estudiats dependrà de que ha passat en la primera extracció.

Així, si la primera bola corresponia a un dels temes preparats, dins de la bossa en aquest moment en queden 23 amb temes que ha estudiat i 40 que no.

Per contra, si la primera bola que havia sortit corresponia a un tema que  l'estudiant no havia preparat, segueixen els 24 temes E dins la bossa i només 39 que no ha estudiat.

Procediríem anàlogament amb la tercera extracció. Ja només quedarien 62 boles a la bossa i la probabilitat de que la tercera extracció correspongui a un tema estudiat o no dependrà ara de les dues extraccions anteriors. Això ja comença a complicar-se, per tant convé fer-nos un esquema (en arbre) que representi aquesta situació i la simplifiqui..

 Les fletxes indiquen els possibles camins. Damunt de cada fletxa tenim la probabilitat que hi ha que passi el que s'indica.

a) Per saber la probabilitat que els tres temes escollits els hagi estudiat només tenim la combinació EEE, que queda representada amb la branca superior assenyalada de color vermell.
A nivell pràctic només cal multiplicar les tres probabilitat que hi ha damunt d'aquestes fletxes, però cal que escrivim cada cosa amb una notació matemàtica correcta. Observem què vol dir cada nombre. Per exemple el 23/63 és una probabilitat condicionada, parteix de que ja sabem que en la primera extracció ha sortit un dels temes E.

És a dir hi ha una probabilitat d'aproximadament el 5% que els 3 temes que surten l'estudiant els hagi estudiat.

b) Per calcular que algun dels tres temes els hagi estudiat tindríem molts camins, de fet tots menys un que seria NE-NE-NE, per tant serà més fàcil calcular el complementari del què ens demanen. 

 1-P(NE-NE-NE).
El camí inferior, que hem assenyalat en negre és el que correspon a la situació NE-NE-NE. Altra cop al final ens tocarà multiplicar branques d'un camí, però és important escriure amb bona notació matemàtica cada cosa. Fixem-nos bé que les segones i terceres branques corresponen a probabilitats condicionades.

P(hagi estudiat algun tema) = 1- P(no hagi estudiat cap dels tres)=  1- 0,237135= 0,762864

 

És a dir, si l'opositor ha estudiat 24 temes té una probabilitat aproximadament del 76% que li surti algun dels temes que ha preparat.