Previous
Next

Les successions que tendeixen al nombre e

El nombre e és un dels nombres irracionals més coneguts, el seu valor s'aproxima a

e almost equal to 2.7182818284590452....

Aquest nombre està ben present a la natura i en molts problemes del món que ens envolta.

El podem definir com a límit de la següent successió:

box enclose e equals stack l i m with n rightwards arrow infinity below open parentheses 1 plus 1 over n close parentheses to the power of n end enclose

Proveu a la calculadora d'anar donant valors a la n cada cop més grans: n=10, n=100, n=1000, observeu que passa?


En aquesta presentació de J.Parera podeu veure quin és aquest nombre, com s'obté i en quines situacions del món que ens envolta el tenim present.

El Nombre E from jparera
Exemple
Anem a veure com podem calcular alguns límits per similitud amb el nombre e. Es tracta de poder arribar al límit de e operat amb una altra successió que tingui límit fàcil de calcular.

stack l i m with n rightwards arrow infinity below open parentheses 1 plus 1 over n close parentheses to the power of 3 n minus 1 end exponent   si observem el que tenim dins del parèntesis és el mateix que tenim amb el límit del nombre e. Aplicarem les propietats de potències per tal que ens aparegui el límit exacte del nombre e.


stack l i m with n rightwards arrow infinity below open parentheses 1 plus 1 over n close parentheses to the power of bold 3 bold italic n bold minus bold 1 end exponent equals stack l i m with n rightwards arrow infinity below open parentheses 1 plus 1 over n close parentheses to the power of bold 3 bold italic n end exponent times open parentheses 1 plus 1 over n close parentheses to the power of bold minus bold 1 end exponent equals stack l i m with n rightwards arrow infinity below open square brackets open parentheses 1 plus 1 over n close parentheses to the power of n close square brackets cubed times open parentheses 1 plus 1 over n close parentheses to the power of negative 1 end exponent space equals space e cubed times 1 equals box enclose e ³ end enclose

Observem que a partir de les propietats de les potències hem aconseguit escriure la successió inicial com a producte de dues successions.
En el primer factor tenim exactament la definició del nombre e però elevat a la 3, per tan tel seu límit serà e³.
El segon factor té límit 1: perquè és 1 més un terme que tendeix a 0 i tot elevat a -1:   és a dir : (1+0)-1  =1
El límit del producte és producte de límits i ja tenim el límit final que busquem.

Previous
Next