Successions

Progressions geomètriques.

Un altre cas particular de successions que mereix menció especial són les progressions geomètriques.

Una successió diem que és una progressió geomètrica si el quocient entre dos termes consecutius es manté constant. O dit d'una altra manera, si passem d'un terme al següent multiplicant sempre per la mateixa quantitat. Aquest valor constant el representem amb la lletra r i l'anomenem raó de la progressió.

:  el quocient (divisió) entre dos termes consecutius és constant

: cada terme (excepte el primer) s'obté multiplicant l'anterior per una quantitat fixa.

És important tenir clar que de successions n'hi ha de moltes tipus: progressions aritmètiques, progressions geomètriques i altres que no són cap tipus de progressió.

Exemples

1.Considerem la successió 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192,.....Observem que :

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

96/48 = 2

192/96 = 2

És a dir la divisió entre dos termes consecutius de la successió sempre és 2. Per tant es tracta d'una progressió geomètrica de raó 2.

Si volem calcular el proper terme només caldria multiplicar per 2 el darrer 192·2 = 384, el proper terme és 384.

2.Considerem la successió 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,.....Observem que :

2/4 = 0,5

1/2 = 0,5

(1/2)/1 = 0,5

(1/4)/(1/2) = 0,5

(1/8)/(1/4) = 0,5

(1/16)/(1/8) = 0,5

És a dir la divisió entre un terme i l'anterior sempre dona 0,5. Si volem calcular el proper terme només caldria multiplicar per 0,5 (1/2)el darrer : el proper (1/16)* (1/2) = 1/32 , el terme és 1/32.

3. Considerem la successió 1, 4, 9, 16, 25.....Observem que :

4 /1 = 4

9/4 = 2,25

ja no cal seguir el quocient entre dos termes consecutius no es manté constant, per tant aquesta successió no és una progressió geomètrica.

Terme general d'una progressió geomètrica

Com hem vist, és fàcil calcular un terme si en coneixem l'anterior i la raó en una progressió geomètrica. Però, què passaria si volem calcular el terme a₂₀ o a₃₀, caldria calcular els 19 o 29 anteriors? Això seria molta feina....Vegem una fórmula que ens permetrà calcular un terme qualsevol d'una progressió geomètrica només coneixent-ne el primer terme i la raó.

Considerem una progressió geomètrica de la qual sabem a₁ i raó r. Generem els primers termes i d'aquí en deduirem una fórmula general.

a₁

a₂ = a₁ · r = a₁·r¹

a₃= a₂ ·r= a₁ ·r¹ ·r = a₁·r²

a₄= a₃ ·r = a₁ ·r²·r = a₁·r³

a₅= a₄·r = a₁ ·r³·r = a₁·r⁴

Fixem-nos que un terme n s'obté multiplicant-li al primer la raó r elevada a (n-1), la fórmula general per tant és :

Aquesta fórmula ens permet calcular un terme qualsevol de la progressió només coneixent el primer i la raó, no ens cal calcular tots els anteriors.

Com seria el terme 20 de la progressió geomètrica de raó 2 i a₁=3 ?

Només cal aplicar la fórmula, haurem de multiplicar a₁ per la raó 2 elevada a 19 (n-1)

a₂₀= a₁· r¹⁹ = 3 · 2¹⁹ = 3· 524288 = 1572864

Com seria el terme 30?

a₃₀= a₁· r²⁹ = 3 · 2²⁹ = 3· 536870912 = 1610612736