Successions

Progressions aritmètiques

Parlem ara d'un tipus de successió que mereix una consideració especial: les progressions aritmètiques.

Una successió és una progressió aritmètica si la diferència entre dos termes consecutius es manté constant. 

                                                   

O dit d'un altre manera, si passem d'un terme al següent sumant sempre la mateixa quantitat. Aquest valor constant el representem amb la lletra d i l'anomenem diferència de la progressió.

                                                    

Exemples

1. Considerem la successió 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,.....

      Observem que :  6-3=3, 9-6=3, 12-9=3,......o que per obtenir els successius termes anem sumant 3        

2. Considerem la successió 4, 2, 0, -2, -4, -6, -8,.....

    Observem que la diferència entre dos termes consecutius de la successió sempre és -2.

    Es tracta d'una progressió aritmètica de diferència -2.

3. Considerem la successió 1, 4, 9, 16, 25.....Observem que :

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

Terme general d'un progressió aritmètica

Ja hem vist que en una progressió aritmètica és fàcil calcular un terme si en coneixem l'anterior i la diferència. Però què passaria si volem calcular el terme a₁₀₀ o a₁₀₀₀, caldria calcular els 99 o 999 anteriors? Això seria molta feina....Tenim una fórmula que ens permetrà calcular un terme qualsevol d'una progressió aritmètica només coneixent-ne el primer terme a₁ i la diferència d.
Anem a deduir la fórmula.
Considerem una progressió aritmètica de la qual coneixem a₁ i diferència d. Generem-ne els primers termes

a₁

a₂= a₁ + d= a₁ + d·1

a₃= a₂ + d= a₁ + d + d = a₁+ d·2

a₄= a₃ + d= a₁ + d·2+ d = a₁+ d·3

a₅= a₄+ d= a₁ + d·3+ d = a₁+ d·4

Fixem-nos que un terme n s'obté sumant-li al primer la diferència d multiplicada per (n-1), la fórmula general per tant és :

Aquesta fórmula ens permet calcular un terme qualsevol de la progressió només coneixent el primer i la diferència, no ens cal calcular tots els anteriors.

Com seria el terme 100 de la progressió aritmètica de diferència 2 i a₁=1 ?

Només cal aplicar la fórmula, haurem de sumar a a₁ 99 vegades la diferència

a₁₀₀ = a₁+ (100-1)·d= 1+ 99·2= 1+198=199

Com seria el terme 1000?

a₁₀₀₀ = a₁+ (1000-1)·d= 1+999·2= 1+1998=1999

Exemple

Quina és la diferència d'una progressió aritmètica de la qual coneixem el primer terme a₁=4 i el terme a₂₀= -34?    

El primer que ens cal és recordar la fórmula del terme general d'una progressió aritmètica a_n= a₁+ (n-1)·d.