Resum Geometria afí: Plans en l'espai

2. Plans en l'espai

Plans en l'espai

Un pla de l'espai queda determinat per un punt P i dos vectors linealment independents $début de style de taille 14px u avec flèche vers la droite au-dessus virgule espace v avec flèche vers la droite au-dessus fin de style$ que anomenarem vectors directors o orientadors del pla.

Tres punts A, B, C no alinats també determinen un pla ja que a partir d'aquests 3 punts també podem obtenir els dos vectors directors, per exemple, $début de style de taille 14px empilement A B avec flèche vers la droite au-dessus virgule espace empilement A C avec flèche vers la droite au-dessus fin de style$

Equacions d'un pla

Donats

vectors orientadors $v avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche u indice 1 virgule u indice 2 virgule u indice 3 virgule parenthèse droite virgule espace espace v avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche v indice 1 virgule v indice 2 virgule v indice 3 virgule parenthèse droite$

Punt $A égal à parenthèse gauche a indice 1 virgule a indice 2 virgule a indice 3 parenthèse droite$

Equació vectorial

$gras parenthèse gauche bold italic x gras virgule bold italic y gras virgule bold italic z gras parenthèse droite gras égal à gras parenthèse gauche bold italic a indice gras 1 gras virgule bold italic a indice gras 2 gras virgule bold italic a indice gras 3 gras parenthèse droite gras plus bold italic lambda gras parenthèse gauche bold italic u indice gras 1 gras virgule bold italic u indice gras 2 gras virgule bold italic u indice gras 3 gras parenthèse droite gras plus bold italic mu gras parenthèse gauche bold italic v indice gras 1 gras virgule bold italic v indice gras 2 gras virgule bold italic v indice gras 3 gras parenthèse droite espace espace espace espace espace espace espace espace espace$

Equació paramètrica

$début table ligne cellule gras x gras égal à gras a indice gras 1 gras plus gras lambda gras u indice gras 1 gras plus gras mu gras v indice gras 1 fin de cellule ligne cellule gras y gras égal à gras a indice gras 2 gras plus gras lambda gras u indice gras 2 gras plus gras mu gras v indice gras 2 fin de cellule ligne cellule gras z gras égal à gras a indice gras 3 gras plus gras lambda gras u indice gras 3 gras plus gras mu gras v indice gras 3 fin de cellule fin de table accolade fermée$

Equació general o implícita

$gras A gras x gras plus gras B gras y gras plus gras C gras z gras plus gras D gras égal à gras 0$

La podem obtenir fent:

$trait vertical ouvert(e) table ligne cellule x moins a indice 1 fin de cellule cellule u indice 1 fin de cellule cellule v indice 1 fin de cellule ligne cellule y moins a indice 2 fin de cellule cellule u indice 2 fin de cellule cellule v indice 2 fin de cellule ligne cellule z moins a indice 3 fin de cellule cellule u indice 3 fin de cellule cellule v indice 3 fin de cellule fin de table trait vertical fermé(e) égal à 0$

Exemple 1

Equacions del pla que passa pel punt $A égal à parenthèse gauche moins 1 virgule 3 virgule 1 parenthèse droite$ i té vectors directors $u avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche 1 virgule 3 virgule moins 2 parenthèse droite virgule espace espace v avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche 2 virgule moins 1 virgule 5 parenthèse droite$

Equació vectorial: $parenthèse gauche x virgule y virgule z parenthèse droite égal à parenthèse gauche moins 1 virgule 3 virgule 1 parenthèse droite plus lambda parenthèse gauche 1 virgule 3 virgule moins 2 parenthèse droite plus mu parenthèse gauche 2 virgule moins 1 virgule 5 parenthèse droite espace espace espace espace espace espace espace espace espace$

Equació paramètrica: $début table ligne cellule simple x égal à moins 1 plus simple lambda plus 2 simple mu fin de cellule ligne cellule simple y égal à 3 plus 3 simple lambda moins simple mu fin de cellule ligne cellule simple z égal à 1 moins 2 simple lambda plus 5 simple mu fin de cellule fin de table accolade fermée$

Equació implícita

$trait vertical ouvert(e) table ligne cellule x plus 1 fin de cellule 1 2 ligne cellule y moins 3 fin de cellule 3 cellule moins 1 fin de cellule ligne cellule z moins 1 fin de cellule cellule moins 2 fin de cellule 5 fin de table trait vertical fermé(e) égal à 0$

$15 parenthèse gauche x plus 1 parenthèse droite moins 4 parenthèse gauche y moins 3 parenthèse droite moins parenthèse gauche z moins 1 parenthèse droite moins crochet gauche 6 parenthèse gauche z moins 1 parenthèse droite plus 2 parenthèse gauche x plus 1 parenthèse droite plus 5 parenthèse gauche y moins 3 parenthèse droite crochet droit égal à 0 15 x plus 15 moins 4 y plus 12 moins z plus 1 moins 6 z plus 6 moins 2 x moins 2 moins 5 y plus 15 égal à 0 13 x moins 9 y moins 7 z plus 47 égal à 0$

Observació: també ho podem fer calculant el vector normal del pla: Vector normal del pla

Exemple 2

Trobeu l'equació general del pla que passa pels punts $début de style de taille 14px A égal à parenthèse gauche 1 virgule moins 1 virgule 1 parenthèse droite virgule espace B égal à parenthèse gauche 2 virgule 0 virgule 1 parenthèse droite virgule espace C égal à parenthèse gauche 3 virgule 1 virgule moins 2 parenthèse droite espace fin de style$

Trobem vectors directors:

$début de style de taille 14px empilement A B avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche 1 virgule 1 virgule 0 parenthèse droite empilement A C avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche 2 virgule 2 virgule moins 3 parenthèse droite fin de style$

Equació general: $trait vertical ouvert(e) table ligne cellule x moins 1 espace fin de cellule 1 2 ligne cellule y plus 1 fin de cellule 1 2 ligne cellule z moins 1 fin de cellule cellule espace 0 espace fin de cellule cellule moins 3 fin de cellule fin de table trait vertical fermé(e) égal à 0$

moins 3 parenthèse gauche x moins 1 parenthèse droite plus 2 parenthèse gauche z moins 1 parenthèse droite moins crochet ouvert 2 parenthèse gauche z moins 1 parenthèse droite moins 3 parenthèse gauche y plus 1 parenthèse droite crochet fermé égal à 0 espace moins 3 x plus 3 plus 2 z moins 2 moins 2 z plus 2 plus 3 y plus 3 égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace moins 3 x plus 3 y plus 6 égal à 0 espace

Podem simplificar:

$moins x plus y plus 2 égal à 0$

Com trobar punts d'un pla?

per trobar un punt d'un pla es donen valors qualssevol a dues variables i es calcula l'altra variable. Exemple:

Volem un punt qualsevol del pla 2x-y+3z+5=0

Agafem, per exemple

$x égal à 0 virgule espace y égal à 0 espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace z égal à moins 5 sur 3 espace espace espace espace espace punt espace ouvrir la parenthèse 0 virgule 0 virgule moins 5 sur 3 fermer la parenthèse simple o espace deux points espace simple x égal à 0 virgule espace simple z égal à 0 espace espace espace double flèche vers la droite espace moins espace simple y égal à moins 5 espace espace espace espace double flèche vers la droite y égal à 5 espace espace espace espace espace espace espace punt espace parenthèse gauche 0 virgule 5 virgule 0 parenthèse droite o deux points y égal à 1 virgule espace z égal à 1 espace espace double flèche vers la droite espace 2 x moins 1 plus 3 fois 1 plus 5 égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 2 x égal à moins 7 espace espace double flèche vers la droite x égal à numérateur de la fraction moins 7 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction espace espace espace espace espace espace P u n t espace ouvrir la parenthèse moins 7 sur 2 virgule 1 virgule 1 fermer la parenthèse$

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