Resum Geometria afí

1. Rectes en l'espai

Donats

vector director 

Punt 

Equació vectorial  

Equació paramètrica

Equació contínua

Equació implícita   

Exemple

Equacions de la recta que passa pel punt  i té vector director 

Equació vectorial:  

Equació paramètrica 

Equació contínua:

Equació implícita

  l'obtenim de l'anterior:

Observació: si tenim l'equació implícita d'una recta, per saber punt i vector director veieu:   

2. Plans en l'espai

Plans en l'espai

Un pla de l'espai queda determinat per un punt P i dos vectors linealment independents  que anomenarem vectors directors o orientadors del pla.

Tres punts A, B, C no alinats també determinen un pla ja que a partir d'aquests 3 punts també podem obtenir els dos vectors directors, per exemple, 

Equacions d'un pla  

Donats

   vectors orientadors 

   Punt 

Equació vectorial  

Equació paramètrica

Equació general  o implícita 

    La podem obtenir fent: 

Exemple 1 

Equacions del pla que passa pel punt  i té vectors directors 

Equació vectorial:    

Equació paramètrica:  

Equació implícita

Observació: també ho podem fer calculant el vector normal del pla: Vector normal del pla

Exemple 2 

Trobeu l'equació general del pla que passa pels punts   

  Trobem vectors directors: 

   Equació general:     

Com trobar punts d'un pla?

per trobar un punt d'un pla es donen valors qualssevol a dues variables i es calcula l'altra variable. Exemple:

Volem un punt qualsevol del pla 2x-y+3z+5=0

Agafem, per exemple

3. Punt i vector director d'una recta donada amb equació implícita.

4. Coordenades d'un punt i d'un vector

(Ho farem en 2 dimensions per simplificar els gràfics però la idea és la mateixa en 3 dimensions)

Aclariment referent a les coordenades d'un punt:

Les coordenades d'un punt són les que són. Que vull dir amb això?

Mireu la representació del punt A   i la del punt B    

Evidentment A i B són punts diferents.

5. Vector normal del pla

Donat el pla  

 el vector normal o vector característic del pla és  .

En el llibre d'Edebé, en el tema 6 (lliurament 4)  no l'utilitza. Ho utilitza i ho explica en el tema 7 (lliurament 5).  Però és molt pràctic utilitzar-ho i us pot anar molt bé en molts casos per trobar fàcilment l'equació general del pla.

Aquest vector és molt important. És un vector que és perpendicular al pla. O sigui, que és perpendicular als dos vectors directors del pla.

Per tant,  si sabem els vectors directors del pla, fent el producte vectorial dels plans obtenim aquest vector normal i, per tant, obtenim els coeficients del pla. 

Exemple 1

Trobeu l'equació general del pla que té vector normal  i passa pel punt P(5,-1,0).

L'equació general del pla serà de la forma : 

I si el punt  (5,-1,0) ha de ser del pla, s'ha de complir:

L'equació general del pla és:  

Exemple 2

Trobeu l'equació general del pla que té vectors directors ,  i  i passa pel punt P(-1,1,-1).

El seu vector normal serà

Fem aquest producte vectorial:

Per tant, l'equació general del pla serà de la forma: 

I trobem D per tal que passi pel punt (-1,1,-1):

L'equació general del pla és: 

Observació: aquesta equació del pla també la podem trobar fent el determinant:

Exemple 3

Trobeu l'equació general del pla perpendicular a la recta   i que passa pel punt P(-1,0,3).

Si recta i pla són perpendiculars, el vectors director de la recta (2,3,-1) serà un vector perpendicular al pla, per tant serà el seu vector normal.

Pla amb vector normal (2,3,-1):   

 calculem D perquè passi pel punt P(-1,0,3):

Equació general del pla: 

6. Feix de plans.

Definició

Donada una recta r, anomenem feix de plans al conjunt de plans que passen per aquesta recta.  

Equació del feix de plans que passen per una recta.

 Si tenim la recta:   

  La tenim expressada com a intersecció de dos plans: 

  L'equació del feix de plans que contenen a la recta és: 

  donant valors qualssevol als paràmetres λ  i  μ  obtenint plans que passen per la recta. 

  Per fer-ho més senzill podem considerar un únic paràmetre i llavors expressem així el feix de plans: 

      o bé 

 En general és indiferent a quin pla li posem el paràmetre però tingueu en compte la observació que faig al final d'aquest apartat.  

Exercici de feix de plans.

Els exercicis on podem considerar el feix de plans són els exercicis que ens demanen l'equació d'un pla que passa per una recta i alguna altra condició. 

Encara que aquests exercicis, en general,  també es podrien fer d'altres maneres.   

Exemple.

Donades les rectes

Trobar el pla que conté r i és paral·lel a la recta s.

Si teniu l procediment de a resolució que dóna el llibre és: 

1) Considerar el feix de plans (secants) que contenen a la recta r.

     D'aquests plans volem el que sigui paral·lel a la recta r

    Condició de paral·lelisme de recta i pla:

         Una recta de vector director  és paral·lela a un pla de vector normal  si   és perpendicular a , o sigui si el producte escalar d'aquest dos vectors és 0

         Ho podem expressar així:  

                   Es veu la condició en aquest petit dibuix (al vector director de la recta li ha posat )

           En geometria en l'espai és molt important que feu un petit dibuix com aquest. O que agafeu un llapis (recta) i un full (pla) i veieu la situació.          

           Si ho fem amb aquesta condició.

            vector normal del pla:  

            Vector director de la recta s: 

            El pla del faig, amb  és   

              podem multiplicar tota l'equació per 5: 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------                 

Quan expressem el feix de plans  importa quin pla multipliquem per λ?

En la majoria de cassos no importa. En quins cassos importa?. Veiem un exemple.

Exemple:

Vull el pla que conté la recta i passa pel punt P(2,0,-1)

La solució seria justament el pla     (ja que aquest pla passa pel punt P i, evidentment, conté a la recta)

En aquest cas,  no podríem agafar el faig amb  en el primer pla. 

Veiem que passa si agafem:

O sigui,

ho podem posar a qualsevol dels dos plans excepte en el cas que justament el pla solució sigui un dels que defineixen la recta. En aquest cas  s'ha de posar a l'altre pla. 

És per això que moltes vegades s'usen dos paràmetres diferents, un per a cada cada pla,  encara que en la majoria de cassos amb un és suficient (i queda més senzill).  

Bé, és una mica subtil però espero que ho entengueu.

7. Components d'un vector

Podem multiplicar per un nombre les components d'un vector ?

Depèn. Depèn de que ens interessi del vector. 

Per exemle, si hem obtingut com a vector director d'una recta el vector   , per tal de no treballar amb fraccions, en comptes del vector podem agafar el vector , no són iguals però tenen la mateixa direcció i tant el com el 4 són vectors directors de la recta  i es pot agafar qualsevol dels dos com a vector director d'una recta.

Però si, per exemple, ens interessa el mòdul del vector, evidentment no serà el mateix agafar el vector que el 4. Si tenen el mateix mòdul el vector i el vector -

Atenció:

Les coordenades d'un punt mai es poden multiplicar o dividir per un nombre. Un punt té les coordenades que té i si les modifiquem obtenim altre punt. El punt (2,2,4) és un punt diferent al (1,1,2)

8. Intersecció recta i pla

Si tinc una recta i un pla que es tallen en un punt, com trobo aquest punt d'intersecció?

Hem de trobar la intersecció però aquesta intrrssecció la podem trobar de diferents maneres depenent de quin tipus d'equació tenim de la recta. Aconsello:

a) Si tenim l'equació implícita de la recta

recta pla

Podem resoldre el sistema d'equacions format per les equacions de la recta i el pla

   Resolem aquest sistema (per exemple, per Gauss), la solució és (1,1,1)

b) Si sabem un punt i el vector director de la recta (o sigui, equació contínua o paramètrica)

recta r. punt (-1,0,4), vector director (2,1,-3)

O sigui, tindríem l'equació paramètrica de la recta:

Pla:

En aquest cas, per fer la intersecció substituim directament la x, y, z de la recta en l'equació del pla. O sigui:

I substituint aquest valor de λ en l'equació paramètrica obtenim el punt:

9. Gràfics en 3D Geogebra

Les representacions d'elements a l'espai (3 dimensions) no és senzill.

Per exemple, representar un punt ja és treballós (en 2 dimensions és molt senzill). Per situar el  punt (2,3,-4) en un sistema de coordenades hem de fer: 

Especialment per fer gràfics és molt útil el programa Geogebra, ho podeu descarregar o podeu utilitzar la versió on line: 

https://www.geogebra.org/     

Quan entreu veureu diverses opcions: 

 El geogebra clàssic  aquí es pot treballar la geometria al pla

 Graficador GeoGebra 3D  aquí podreu representar elements de l'espai. A l'esquerra, en "Entrada", podeu l'equació del que vulgueu representar: un punt (1,-2,3), un pla x+y-z=0. Per exemple per dibuixar la recta. podeu definir dos punts i triar l'opció recta per dos punts. O un punt i una recta,... és qüestió que, si teniu curiositat, jugueu una mica amb totes les opcions. 

10. Posició relativa de dues rectes donades en forma implícita

Donades dues rectes de l'espai veiem com trobar la seva posició relativa depenent de:

- Si tenim les equacions implícites:  

   r:  

   considerarem la matriu M de coeficients i la matriu ampliada M' del sistema format per les equacions de les dues rectes:

    i mirarem els rangs de M i M'  

    Rectes coincidents             rang M = rang M' = 2

    Rectes paral·leles               rang M = 2,  rang M' = 3 

    Rectes secants                   rang M = rang M' = 3

    Rectes que es creuen        rang M = 3,  rang M' = 4