Resum Geometria afí: Plans en l'espai

2. Plans en l'espai

Plans en l'espai

Un pla de l'espai queda determinat per un punt P i dos vectors linealment independents $estilo tamaño 14px u con flecha derecha encima coma espacio v con flecha derecha encima fin estilo$ que anomenarem vectors directors o orientadors del pla.

Tres punts A, B, C no alinats també determinen un pla ja que a partir d'aquests 3 punts també podem obtenir els dos vectors directors, per exemple, $estilo tamaño 14px pila A B con flecha derecha encima coma espacio pila A C con flecha derecha encima fin estilo$

Equacions d'un pla

Donats

vectors orientadors $v con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo u subíndice 1 coma u subíndice 2 coma u subíndice 3 coma paréntesis derecho coma espacio espacio v con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo v subíndice 1 coma v subíndice 2 coma v subíndice 3 coma paréntesis derecho$

Punt $A igual paréntesis izquierdo a subíndice 1 coma a subíndice 2 coma a subíndice 3 paréntesis derecho$

Equació vectorial

$negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita coma bold italic y negrita coma bold italic z negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo bold italic a subíndice negrita 1 negrita coma bold italic a subíndice negrita 2 negrita coma bold italic a subíndice negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita más bold italic lambda negrita paréntesis izquierdo bold italic u subíndice negrita 1 negrita coma bold italic u subíndice negrita 2 negrita coma bold italic u subíndice negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita más bold italic mu negrita paréntesis izquierdo bold italic v subíndice negrita 1 negrita coma bold italic v subíndice negrita 2 negrita coma bold italic v subíndice negrita 3 negrita paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio$

Equació paramètrica

$abrir tabla fila celda negrita x negrita igual negrita a subíndice negrita 1 negrita más negrita lambda negrita u subíndice negrita 1 negrita más negrita mu negrita v subíndice negrita 1 fin celda fila celda negrita y negrita igual negrita a subíndice negrita 2 negrita más negrita lambda negrita u subíndice negrita 2 negrita más negrita mu negrita v subíndice negrita 2 fin celda fila celda negrita z negrita igual negrita a subíndice negrita 3 negrita más negrita lambda negrita u subíndice negrita 3 negrita más negrita mu negrita v subíndice negrita 3 fin celda fin tabla cerrar llaves$

Equació general o implícita

$negrita A negrita x negrita más negrita B negrita y negrita más negrita C negrita z negrita más negrita D negrita igual negrita 0$

La podem obtenir fent:

$abrir barra vertical tabla fila celda x menos a subíndice 1 fin celda celda u subíndice 1 fin celda celda v subíndice 1 fin celda fila celda y menos a subíndice 2 fin celda celda u subíndice 2 fin celda celda v subíndice 2 fin celda fila celda z menos a subíndice 3 fin celda celda u subíndice 3 fin celda celda v subíndice 3 fin celda fin tabla cerrar barra vertical igual 0$

Exemple 1

Equacions del pla que passa pel punt $A igual paréntesis izquierdo menos 1 coma 3 coma 1 paréntesis derecho$ i té vectors directors $u con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo 1 coma 3 coma menos 2 paréntesis derecho coma espacio espacio v con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo 2 coma menos 1 coma 5 paréntesis derecho$

Equació vectorial: $paréntesis izquierdo x coma y coma z paréntesis derecho igual paréntesis izquierdo menos 1 coma 3 coma 1 paréntesis derecho más lambda paréntesis izquierdo 1 coma 3 coma menos 2 paréntesis derecho más mu paréntesis izquierdo 2 coma menos 1 coma 5 paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio$

Equació paramètrica: $abrir tabla fila celda normal x igual menos 1 más normal lambda más 2 normal mu fin celda fila celda normal y igual 3 más 3 normal lambda menos normal mu fin celda fila celda normal z igual 1 menos 2 normal lambda más 5 normal mu fin celda fin tabla cerrar llaves$

Equació implícita

$abrir barra vertical tabla fila celda x más 1 fin celda 1 2 fila celda y menos 3 fin celda 3 celda menos 1 fin celda fila celda z menos 1 fin celda celda menos 2 fin celda 5 fin tabla cerrar barra vertical igual 0$

$15 paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho menos 4 paréntesis izquierdo y menos 3 paréntesis derecho menos paréntesis izquierdo z menos 1 paréntesis derecho menos corchete izquierdo 6 paréntesis izquierdo z menos 1 paréntesis derecho más 2 paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho más 5 paréntesis izquierdo y menos 3 paréntesis derecho corchete derecho igual 0 15 x más 15 menos 4 y más 12 menos z más 1 menos 6 z más 6 menos 2 x menos 2 menos 5 y más 15 igual 0 13 x menos 9 y menos 7 z más 47 igual 0$

Observació: també ho podem fer calculant el vector normal del pla: Vector normal del pla

Exemple 2

Trobeu l'equació general del pla que passa pels punts $estilo tamaño 14px A igual paréntesis izquierdo 1 coma menos 1 coma 1 paréntesis derecho coma espacio B igual paréntesis izquierdo 2 coma 0 coma 1 paréntesis derecho coma espacio C igual paréntesis izquierdo 3 coma 1 coma menos 2 paréntesis derecho espacio fin estilo$

Trobem vectors directors:

$estilo tamaño 14px pila A B con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo 1 coma 1 coma 0 paréntesis derecho pila A C con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo 2 coma 2 coma menos 3 paréntesis derecho fin estilo$

Equació general: $abrir barra vertical tabla fila celda x menos 1 espacio fin celda 1 2 fila celda y más 1 fin celda 1 2 fila celda z menos 1 fin celda celda espacio 0 espacio fin celda celda menos 3 fin celda fin tabla cerrar barra vertical igual 0$

menos 3 paréntesis izquierdo x menos 1 paréntesis derecho más 2 paréntesis izquierdo z menos 1 paréntesis derecho menos abrir corchetes 2 paréntesis izquierdo z menos 1 paréntesis derecho menos 3 paréntesis izquierdo y más 1 paréntesis derecho cerrar corchetes igual 0 espacio menos 3 x más 3 más 2 z menos 2 menos 2 z más 2 más 3 y más 3 igual 0 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio menos 3 x más 3 y más 6 igual 0 espacio

Podem simplificar:

$menos x más y más 2 igual 0$

Com trobar punts d'un pla?

per trobar un punt d'un pla es donen valors qualssevol a dues variables i es calcula l'altra variable. Exemple:

Volem un punt qualsevol del pla 2x-y+3z+5=0

Agafem, per exemple

$x igual 0 coma espacio y igual 0 espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio z igual menos fracción 5 entre 3 espacio espacio espacio espacio espacio punt espacio abrir paréntesis 0 coma 0 coma menos fracción 5 entre 3 cerrar paréntesis normal o espacio dos puntos espacio normal x igual 0 coma espacio normal z igual 0 espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio menos espacio normal y igual menos 5 espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha y igual 5 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio punt espacio paréntesis izquierdo 0 coma 5 coma 0 paréntesis derecho o dos puntos y igual 1 coma espacio z igual 1 espacio espacio flecha doble derecha espacio 2 x menos 1 más 3 por 1 más 5 igual 0 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 2 x igual menos 7 espacio espacio flecha doble derecha x igual fracción numerador menos 7 entre denominador 2 fin fracción espacio espacio espacio espacio espacio espacio P u n t espacio abrir paréntesis menos fracción 7 entre 2 coma 1 coma 1 cerrar paréntesis$

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