Resum Geometria afí: Plans en l'espai

2. Plans en l'espai

Plans en l'espai

Un pla de l'espai queda determinat per un punt P i dos vectors linealment independents $Anfang mathsize 14px Stil u mit rechtspfeil darüber Komma Leerzeichen v mit rechtspfeil darüber Ende Stil$ que anomenarem vectors directors o orientadors del pla.

Tres punts A, B, C no alinats també determinen un pla ja que a partir d'aquests 3 punts també podem obtenir els dos vectors directors, per exemple, $Anfang mathsize 14px Stil Stapel A B mit rechtspfeil darüber Komma Leerzeichen Stapel A C mit rechtspfeil darüber Ende Stil$

Equacions d'un pla

Donats

vectors orientadors $v mit rechtspfeil darüber gleich linke klammer u unterer Index 1 Komma u unterer Index 2 Komma u unterer Index 3 Komma rechte klammer Komma Leerzeichen Leerzeichen v mit rechtspfeil darüber gleich linke klammer v unterer Index 1 Komma v unterer Index 2 Komma v unterer Index 3 Komma rechte klammer$

Punt $A gleich linke klammer a unterer Index 1 Komma a unterer Index 2 Komma a unterer Index 3 rechte klammer$

Equació vectorial

$fett linke klammer bold italic x fett Komma bold italic y fett Komma bold italic z fett rechte klammer fett gleich fett linke klammer bold italic a unterer Index fett 1 fett Komma bold italic a unterer Index fett 2 fett Komma bold italic a unterer Index fett 3 fett rechte klammer fett plus bold italic lambda fett linke klammer bold italic u unterer Index fett 1 fett Komma bold italic u unterer Index fett 2 fett Komma bold italic u unterer Index fett 3 fett rechte klammer fett plus bold italic my fett linke klammer bold italic v unterer Index fett 1 fett Komma bold italic v unterer Index fett 2 fett Komma bold italic v unterer Index fett 3 fett rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen$

Equació paramètrica

$öffnen Tabelle Zeile Zelle fett x fett gleich fett a unterer Index fett 1 fett plus fett lambda fett u unterer Index fett 1 fett plus fett my fett v unterer Index fett 1 Ende Zelle Zeile Zelle fett y fett gleich fett a unterer Index fett 2 fett plus fett lambda fett u unterer Index fett 2 fett plus fett my fett v unterer Index fett 2 Ende Zelle Zeile Zelle fett z fett gleich fett a unterer Index fett 3 fett plus fett lambda fett u unterer Index fett 3 fett plus fett my fett v unterer Index fett 3 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen$

Equació general o implícita

$fett A fett x fett plus fett B fett y fett plus fett C fett z fett plus fett D fett gleich fett 0$

La podem obtenir fent:

$öffnen senkrechter Strich Tabelle Zeile Zelle x minus a unterer Index 1 Ende Zelle Zelle u unterer Index 1 Ende Zelle Zelle v unterer Index 1 Ende Zelle Zeile Zelle y minus a unterer Index 2 Ende Zelle Zelle u unterer Index 2 Ende Zelle Zelle v unterer Index 2 Ende Zelle Zeile Zelle z minus a unterer Index 3 Ende Zelle Zelle u unterer Index 3 Ende Zelle Zelle v unterer Index 3 Ende Zelle Ende Tabelle schließen senkrechter Strich gleich 0$

Exemple 1

Equacions del pla que passa pel punt $A gleich linke klammer minus 1 Komma 3 Komma 1 rechte klammer$ i té vectors directors $u mit rechtspfeil darüber gleich linke klammer 1 Komma 3 Komma minus 2 rechte klammer Komma Leerzeichen Leerzeichen v mit rechtspfeil darüber gleich linke klammer 2 Komma minus 1 Komma 5 rechte klammer$

Equació vectorial: $linke klammer x Komma y Komma z rechte klammer gleich linke klammer minus 1 Komma 3 Komma 1 rechte klammer plus lambda linke klammer 1 Komma 3 Komma minus 2 rechte klammer plus my linke klammer 2 Komma minus 1 Komma 5 rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen$

Equació paramètrica: $öffnen Tabelle Zeile Zelle gerade x gleich minus 1 plus gerade lambda plus 2 gerade my Ende Zelle Zeile Zelle gerade y gleich 3 plus 3 gerade lambda minus gerade my Ende Zelle Zeile Zelle gerade z gleich 1 minus 2 gerade lambda plus 5 gerade my Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen$

Equació implícita

$öffnen senkrechter Strich Tabelle Zeile Zelle x plus 1 Ende Zelle 1 2 Zeile Zelle y minus 3 Ende Zelle 3 Zelle minus 1 Ende Zelle Zeile Zelle z minus 1 Ende Zelle Zelle minus 2 Ende Zelle 5 Ende Tabelle schließen senkrechter Strich gleich 0$

$15 linke klammer x plus 1 rechte klammer minus 4 linke klammer y minus 3 rechte klammer minus linke klammer z minus 1 rechte klammer minus linke eckige klammer 6 linke klammer z minus 1 rechte klammer plus 2 linke klammer x plus 1 rechte klammer plus 5 linke klammer y minus 3 rechte klammer rechte eckige klammer gleich 0 15 x plus 15 minus 4 y plus 12 minus z plus 1 minus 6 z plus 6 minus 2 x minus 2 minus 5 y plus 15 gleich 0 13 x minus 9 y minus 7 z plus 47 gleich 0$

Observació: també ho podem fer calculant el vector normal del pla: Vector normal del pla

Exemple 2

Trobeu l'equació general del pla que passa pels punts $Anfang mathsize 14px Stil A gleich linke klammer 1 Komma minus 1 Komma 1 rechte klammer Komma Leerzeichen B gleich linke klammer 2 Komma 0 Komma 1 rechte klammer Komma Leerzeichen C gleich linke klammer 3 Komma 1 Komma minus 2 rechte klammer Leerzeichen Ende Stil$

Trobem vectors directors:

$Anfang mathsize 14px Stil Stapel A B mit rechtspfeil darüber gleich linke klammer 1 Komma 1 Komma 0 rechte klammer Stapel A C mit rechtspfeil darüber gleich linke klammer 2 Komma 2 Komma minus 3 rechte klammer Ende Stil$

Equació general: $öffnen senkrechter Strich Tabelle Zeile Zelle x minus 1 Leerzeichen Ende Zelle 1 2 Zeile Zelle y plus 1 Ende Zelle 1 2 Zeile Zelle z minus 1 Ende Zelle Zelle Leerzeichen 0 Leerzeichen Ende Zelle Zelle minus 3 Ende Zelle Ende Tabelle schließen senkrechter Strich gleich 0$

minus 3 linke klammer x minus 1 rechte klammer plus 2 linke klammer z minus 1 rechte klammer minus eckige Klammern öffnen 2 linke klammer z minus 1 rechte klammer minus 3 linke klammer y plus 1 rechte klammer eckige Klammern schließen gleich 0 Leerzeichen minus 3 x plus 3 plus 2 z minus 2 minus 2 z plus 2 plus 3 y plus 3 gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 3 x plus 3 y plus 6 gleich 0 Leerzeichen

Podem simplificar:

$minus x plus y plus 2 gleich 0$

Com trobar punts d'un pla?

per trobar un punt d'un pla es donen valors qualssevol a dues variables i es calcula l'altra variable. Exemple:

Volem un punt qualsevol del pla 2x-y+3z+5=0

Agafem, per exemple

$x gleich 0 Komma Leerzeichen y gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen z gleich minus 5 geteilt durch 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen punt Leerzeichen Klammer öffnen 0 Komma 0 Komma minus 5 geteilt durch 3 Klammer schließen gerade o Leerzeichen Doppelpunkt Leerzeichen gerade x gleich 0 Komma Leerzeichen gerade z gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen minus Leerzeichen gerade y gleich minus 5 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil y gleich 5 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen punt Leerzeichen linke klammer 0 Komma 5 Komma 0 rechte klammer o Doppelpunkt y gleich 1 Komma Leerzeichen z gleich 1 Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen 2 x minus 1 plus 3 mal 1 plus 5 gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 2 x gleich minus 7 Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil x gleich Zähler minus 7 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen P u n t Leerzeichen Klammer öffnen minus 7 geteilt durch 2 Komma 1 Komma 1 Klammer schließen$

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