Resum Geometria afí: Plans en l'espai

2. Plans en l'espai

Plans en l'espai

Un pla de l'espai queda determinat per un punt P i dos vectors linealment independents $estil mida 14px u amb fletxa dreta a sobre coma espai v amb fletxa dreta a sobre fi estil$ que anomenarem vectors directors o orientadors del pla.

Tres punts A, B, C no alinats també determinen un pla ja que a partir d'aquests 3 punts també podem obtenir els dos vectors directors, per exemple, $estil mida 14px pila A B amb fletxa dreta a sobre coma espai pila A C amb fletxa dreta a sobre fi estil$

Equacions d'un pla

Donats

vectors orientadors $v amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre u subíndex 1 coma u subíndex 2 coma u subíndex 3 coma parèntesi dret coma espai espai v amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre v subíndex 1 coma v subíndex 2 coma v subíndex 3 coma parèntesi dret$

Punt $A igual parèntesi esquerre a subíndex 1 coma a subíndex 2 coma a subíndex 3 parèntesi dret$

Equació vectorial

$negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta coma bold italic y negreta coma bold italic z negreta parèntesi dret negreta igual negreta parèntesi esquerre bold italic a subíndex negreta 1 negreta coma bold italic a subíndex negreta 2 negreta coma bold italic a subíndex negreta 3 negreta parèntesi dret negreta més bold italic lambda negreta parèntesi esquerre bold italic u subíndex negreta 1 negreta coma bold italic u subíndex negreta 2 negreta coma bold italic u subíndex negreta 3 negreta parèntesi dret negreta més bold italic mu negreta parèntesi esquerre bold italic v subíndex negreta 1 negreta coma bold italic v subíndex negreta 2 negreta coma bold italic v subíndex negreta 3 negreta parèntesi dret espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

Equació paramètrica

$obre taula fila cel·la negreta x negreta igual negreta a subíndex negreta 1 negreta més negreta lambda negreta u subíndex negreta 1 negreta més negreta mu negreta v subíndex negreta 1 fi cel·la fila cel·la negreta y negreta igual negreta a subíndex negreta 2 negreta més negreta lambda negreta u subíndex negreta 2 negreta més negreta mu negreta v subíndex negreta 2 fi cel·la fila cel·la negreta z negreta igual negreta a subíndex negreta 3 negreta més negreta lambda negreta u subíndex negreta 3 negreta més negreta mu negreta v subíndex negreta 3 fi cel·la fi taula tanca claus$

Equació general o implícita

$negreta A negreta x negreta més negreta B negreta y negreta més negreta C negreta z negreta més negreta D negreta igual negreta 0$

La podem obtenir fent:

$obre barra vertical taula fila cel·la x menys a subíndex 1 fi cel·la cel·la u subíndex 1 fi cel·la cel·la v subíndex 1 fi cel·la fila cel·la y menys a subíndex 2 fi cel·la cel·la u subíndex 2 fi cel·la cel·la v subíndex 2 fi cel·la fila cel·la z menys a subíndex 3 fi cel·la cel·la u subíndex 3 fi cel·la cel·la v subíndex 3 fi cel·la fi taula tanca barra vertical igual 0$

Exemple 1

Equacions del pla que passa pel punt $A igual parèntesi esquerre menys 1 coma 3 coma 1 parèntesi dret$ i té vectors directors $u amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre 1 coma 3 coma menys 2 parèntesi dret coma espai espai v amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre 2 coma menys 1 coma 5 parèntesi dret$

Equació vectorial: $parèntesi esquerre x coma y coma z parèntesi dret igual parèntesi esquerre menys 1 coma 3 coma 1 parèntesi dret més lambda parèntesi esquerre 1 coma 3 coma menys 2 parèntesi dret més mu parèntesi esquerre 2 coma menys 1 coma 5 parèntesi dret espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

Equació paramètrica: $obre taula fila cel·la normal x igual menys 1 més normal lambda més 2 normal mu fi cel·la fila cel·la normal y igual 3 més 3 normal lambda menys normal mu fi cel·la fila cel·la normal z igual 1 menys 2 normal lambda més 5 normal mu fi cel·la fi taula tanca claus$

Equació implícita

$obre barra vertical taula fila cel·la x més 1 fi cel·la 1 2 fila cel·la y menys 3 fi cel·la 3 cel·la menys 1 fi cel·la fila cel·la z menys 1 fi cel·la cel·la menys 2 fi cel·la 5 fi taula tanca barra vertical igual 0$

$15 parèntesi esquerre x més 1 parèntesi dret menys 4 parèntesi esquerre y menys 3 parèntesi dret menys parèntesi esquerre z menys 1 parèntesi dret menys claudàtor esquerre 6 parèntesi esquerre z menys 1 parèntesi dret més 2 parèntesi esquerre x més 1 parèntesi dret més 5 parèntesi esquerre y menys 3 parèntesi dret claudàtor dret igual 0 15 x més 15 menys 4 y més 12 menys z més 1 menys 6 z més 6 menys 2 x menys 2 menys 5 y més 15 igual 0 13 x menys 9 y menys 7 z més 47 igual 0$

Observació: també ho podem fer calculant el vector normal del pla: Vector normal del pla

Exemple 2

Trobeu l'equació general del pla que passa pels punts $estil mida 14px A igual parèntesi esquerre 1 coma menys 1 coma 1 parèntesi dret coma espai B igual parèntesi esquerre 2 coma 0 coma 1 parèntesi dret coma espai C igual parèntesi esquerre 3 coma 1 coma menys 2 parèntesi dret espai fi estil$

Trobem vectors directors:

$estil mida 14px pila A B amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre 1 coma 1 coma 0 parèntesi dret pila A C amb fletxa dreta a sobre igual parèntesi esquerre 2 coma 2 coma menys 3 parèntesi dret fi estil$

Equació general: $obre barra vertical taula fila cel·la x menys 1 espai fi cel·la 1 2 fila cel·la y més 1 fi cel·la 1 2 fila cel·la z menys 1 fi cel·la cel·la espai 0 espai fi cel·la cel·la menys 3 fi cel·la fi taula tanca barra vertical igual 0$

menys 3 parèntesi esquerre x menys 1 parèntesi dret més 2 parèntesi esquerre z menys 1 parèntesi dret menys obre claudàtors 2 parèntesi esquerre z menys 1 parèntesi dret menys 3 parèntesi esquerre y més 1 parèntesi dret tanca claudàtors igual 0 espai menys 3 x més 3 més 2 z menys 2 menys 2 z més 2 més 3 y més 3 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 3 x més 3 y més 6 igual 0 espai

Podem simplificar:

$menys x més y més 2 igual 0$

Com trobar punts d'un pla?

per trobar un punt d'un pla es donen valors qualssevol a dues variables i es calcula l'altra variable. Exemple:

Volem un punt qualsevol del pla 2x-y+3z+5=0

Agafem, per exemple

$x igual 0 coma espai y igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai z igual menys fracció 5 entre 3 espai espai espai espai espai punt espai obre parèntesis 0 coma 0 coma menys fracció 5 entre 3 tanca parèntesis normal o espai dos punts espai normal x igual 0 coma espai normal z igual 0 espai espai espai fletxa doble dreta espai menys espai normal y igual menys 5 espai espai espai espai fletxa doble dreta y igual 5 espai espai espai espai espai espai espai punt espai parèntesi esquerre 0 coma 5 coma 0 parèntesi dret o dos punts y igual 1 coma espai z igual 1 espai espai fletxa doble dreta espai 2 x menys 1 més 3 per 1 més 5 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 2 x igual menys 7 espai espai fletxa doble dreta x igual fracció numerador menys 7 entre denominador 2 fi fracció espai espai espai espai espai espai P u n t espai obre parèntesis menys fracció 7 entre 2 coma 1 coma 1 tanca parèntesis$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

2. Plans en l'espai