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8. Intersecció recta i pla

Si tinc una recta i un pla que es tallen en un punt, com trobo aquest punt d'intersecció?

Hem de trobar la intersecció però aquesta intrrssecció la podem trobar de diferents maneres depenent de quin tipus d'equació tenim de la recta. Aconsello:

a) Si tenim l'equació implícita de la recta

recta r deux points espace accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x plus y plus z égal à 3 fin de cellule ligne cellule 2 x moins y plus z égal à 2 fin de cellule fin de tableau fin pla simple pi deux points espace espace 2 simple x moins simple y plus 3 simple z égal à 4

Podem resoldre el sistema d'equacions format per les equacions de la recta i el pla

espace accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x plus y plus z égal à 3 fin de cellule ligne cellule 2 x moins y plus z égal à 2 fin de cellule fin de tableau fin de cellule ligne cellule 2 x moins y plus 3 z égal à 4 fin de cellule fin de tableau fin

   Resolem aquest sistema (per exemple, per Gauss), la solució és (1,1,1)

                      

b) Si sabem un punt i el vector director de la recta (o sigui, equació contínua o paramètrica)

recta r. punt (-1,0,4), vector director (2,1,-3)

O sigui, tindríem l'equació paramètrica de la recta:

accolade ouverte table ligne cellule x égal à moins 1 plus 2 lambda fin de cellule ligne cellule y égal à lambda fin de cellule ligne cellule z égal à 4 moins 3 lambda fin de cellule fin de table fin

Pla: simple pi deux points espace espace 2 simple x moins simple y plus 3 simple z égal à 4

En aquest cas, per fer la intersecció substituim directament la x, y, z de la recta en l'equació del pla. O sigui:

2 x moins y plus 3 z égal à 4 2 parenthèse gauche moins 1 plus 2 lambda parenthèse droite moins lambda plus 3 parenthèse gauche 4 moins 3 lambda parenthèse droite égal à 4 moins 2 plus 4 lambda moins lambda plus 12 moins 9 lambda égal à 4 moins 6 lambda égal à moins 6 espace espace espace espace espace espace lambda égal à 1

I substituint aquest valor de λ en l'equació paramètrica obtenim el punt:

accolade ouverte table ligne cellule x égal à moins 1 plus 2 lambda égal à moins 1 plus 2 égal à 1 espace espace fin de cellule ligne cellule y égal à lambda égal à 1 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace fin de cellule ligne cellule z égal à 4 moins 3 lambda égal à 4 moins 3 égal à 1 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace fin de cellule fin de table fin espace espace double flèche vers la droite espace espace parenthèse gauche 1 virgule 1 virgule 1 parenthèse droite

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