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6. Feix de plans.

Definició

Donada una recta r, anomenem feix de plans al conjunt de plans que passen per aquesta recta.  

Equació del feix de plans que passen per una recta.

 Si tenim la recta:   

 accolade ouverte espace A x plus B y plus C z plus D égal à 0 espace A apostrophe x plus B apostrophe y plus C apostrophe z plus D apostrophe égal à 0 fin

  La tenim expressada com a intersecció de dos plans: 

  pi deux points espace espace A x plus B y plus C z plus D égal à 0 pi apostrophe deux points espace A apostrophe x plus B apostrophe y plus C apostrophe z plus D apostrophe égal à 0

  L'equació del feix de plans que contenen a la recta és: 

  lambda parenthèse gauche espace A x plus B y plus C z plus D parenthèse droite plus mu parenthèse gauche espace A apostrophe x plus B apostrophe y plus C apostrophe z plus D apostrophe parenthèse droite égal à 0

  donant valors qualssevol als paràmetres λ  i  μ  obtenint plans que passen per la recta. 

  Per fer-ho més senzill podem considerar un únic paràmetre i llavors expressem així el feix de plans: 

                       cadre englobant espace espace lambda parenthèse gauche espace A x plus B y plus C z plus D parenthèse droite plus parenthèse gauche espace A apostrophe x plus B apostrophe y plus C apostrophe z plus D apostrophe parenthèse droite égal à 0 espace espace espace fin

      o bé 

                     parenthèse gauche espace A x plus B y plus C z plus D parenthèse droite plus lambda parenthèse gauche espace A apostrophe x plus B apostrophe y plus C apostrophe z plus D apostrophe parenthèse droite égal à 0

 En general és indiferent a quin pla li posem el paràmetre però tingueu en compte la observació que faig al final d'aquest apartat.  

  

Exercici de feix de plans.

Els exercicis on podem considerar el feix de plans són els exercicis que ens demanen l'equació d'un pla que passa per una recta i alguna altra condició. 

Encara que aquests exercicis, en general,  també es podrien fer d'altres maneres.   

Exemple.

Donades les rectes

bold italic r gras deux points accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule gras x gras moins gras 3 gras y gras égal à gras 0 fin de cellule ligne cellule gras x gras plus gras z gras moins gras 1 gras égal à gras 0 fin de cellule fin de tableau fin gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace bold italic s gras deux points gras espace numérateur de la fraction gras x gras plus gras 1 au-dessus du dénominateur gras 2 fin de la fraction gras égal à numérateur de la fraction gras y gras moins gras 3 au-dessus du dénominateur gras 1 fin de la fraction gras égal à gras z sur gras 3

Trobar el pla que conté r i és paral·lel a la recta s.

Si teniu l procediment de a resolució que dóna el llibre és: 

1) Considerar el feix de plans (secants) que contenen a la recta r.

    gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace bold italic x gras moins gras 3 bold italic y gras plus bold italic lambda gras parenthèse gauche bold italic x gras plus bold italic z gras moins gras 1 gras parenthèse droite gras égal à gras 0 gras espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace gras parenthèse gauche gras 1 gras plus bold italic lambda gras parenthèse droite bold italic x gras moins gras 3 bold italic y gras plus bold italic lambda bold italic z gras moins bold italic lambda gras égal à gras 0   

     D'aquests plans volem el que sigui paral·lel a la recta r

    Condició de paral·lelisme de recta i pla:

         Una recta de vector director v avec flèche vers la droite au-dessus és paral·lela a un pla de vector normal n avec flèche vers la droite au-dessus si  v avec flèche vers la droite au-dessus és perpendicular a n avec flèche vers la droite au-dessus, o sigui si el producte escalar d'aquest dos vectors és 0

         Ho podem expressar així:  

                       r parallèle à simple pi espace espace double flèche bilatérale espace simple v avec flèche vers la droite au-dessus perpendiculaire à simple n avec flèche vers la droite au-dessus espace espace espace double flèche bilatérale espace simple v avec flèche vers la droite au-dessus fois simple n avec flèche vers la droite au-dessus égal à 0

                   Es veu la condició en aquest petit dibuix (al vector director de la recta li ha posat d avec flèche vers la droite au-dessus)

           En geometria en l'espai és molt important que feu un petit dibuix com aquest. O que agafeu un llapis (recta) i un full (pla) i veieu la situació.          

           Si ho fem amb aquesta condició.

            vector normal del pla:   n avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche 1 plus lambda virgule moins 3 virgule lambda parenthèse droite

            Vector director de la recta s:  v avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche 2 virgule 1 virgule 3 parenthèse droite

                          simple v avec flèche vers la droite au-dessus perpendiculaire à simple n avec flèche vers la droite au-dessus espace double flèche vers la droite espace espace simple v avec flèche vers la droite au-dessus fois simple n avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche 2 virgule 1 virgule 3 parenthèse droite fois parenthèse gauche 1 plus lambda virgule moins 3 virgule lambda parenthèse droite égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 2 plus 2 lambda moins 3 plus 3 lambda égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 5 lambda égal à 1 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace lambda égal à 1 cinquième espace

            El pla del faig, amb  lambda égal à 1 cinquième espace és   

                     espace espace parenthèse gauche 1 plus lambda parenthèse droite x moins 3 y plus lambda z moins lambda égal à 0 espace espace ouvrir la parenthèse 1 plus 1 cinquième fermer la parenthèse x moins 3 y plus 1 cinquième z moins 1 cinquième égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace 6 sur 5 x moins 3 y plus 1 cinquième z moins 1 cinquième égal à 0

              podem multiplicar tota l'equació per 5: 

                       6 x moins 15 y plus z moins 1 égal à 0

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------                 

Quan expressem el feix de plans  importa quin pla multipliquem per λ?

En la majoria de cassos no importa. En quins cassos importa?. Veiem un exemple.

Exemple:

Vull el pla que conté la recta r deux points espace espace accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x plus y plus z égal à 1 fin de cellule ligne cellule 2 x moins y plus z égal à 3 fin de cellule fin de tableau fini passa pel punt P(2,0,-1)

La solució seria justament el pla  x plus y plus z égal à 1   (ja que aquest pla passa pel punt P i, evidentment, conté a la recta)

En aquest cas,  no podríem agafar el faig amb lambda en el primer pla. 

Veiem que passa si agafem:

lambda parenthèse gauche x plus y plus z moins 1 parenthèse droite plus 2 x moins y plus z moins 3 égal à 0 parenthèse gauche lambda plus 2 parenthèse droite x plus parenthèse gauche lambda moins 1 parenthèse droite y plus parenthèse gauche lambda plus 1 parenthèse droite z moins lambda moins 3 égal à 0 P e r espace t a l espace q u e espace p a s s i espace p e r espace P parenthèse gauche 2 virgule 0 virgule moins 1 parenthèse droite deux points parenthèse gauche lambda plus 2 parenthèse droite fois 2 plus parenthèse gauche lambda moins 1 parenthèse droite fois 0 plus parenthèse gauche lambda plus 1 parenthèse droite fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite moins lambda moins 3 égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace espace espace espace espace 2 lambda plus 4 moins lambda moins 1 moins lambda moins 3 égal à 0 espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace espace 0 lambda égal à 0

O sigui,

lambda ho podem posar a qualsevol dels dos plans excepte en el cas que justament el pla solució sigui un dels que defineixen la recta. En aquest cas lambda s'ha de posar a l'altre pla. 

És per això que moltes vegades s'usen dos paràmetres diferents, un per a cada cada pla,  encara que en la majoria de cassos amb un és suficient (i queda més senzill).  

Bé, és una mica subtil però espero que ho entengueu.

 

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