Resum Geometria afí

Definició

Donada una recta r, anomenem feix de plans al conjunt de plans que passen per aquesta recta.  

Equació del feix de plans que passen per una recta.

 Si tenim la recta:   

 

  La tenim expressada com a intersecció de dos plans: 

  

  L'equació del feix de plans que contenen a la recta és: 

  

  donant valors qualssevol als paràmetres λ  i  μ  obtenint plans que passen per la recta. 

  Per fer-ho més senzill podem considerar un únic paràmetre i llavors expressem així el feix de plans: 

                       

      o bé 

                     

 En general és indiferent a quin pla li posem el paràmetre però tingueu en compte la observació que faig al final d'aquest apartat.  

  

Exercici de feix de plans.

Els exercicis on podem considerar el feix de plans són els exercicis que ens demanen l'equació d'un pla que passa per una recta i alguna altra condició. 

Encara que aquests exercicis, en general,  també es podrien fer d'altres maneres.   

Exemple.

Donades les rectes

Trobar el pla que conté r i és paral·lel a la recta s.

Si teniu l procediment de a resolució que dóna el llibre és: 

1) Considerar el feix de plans (secants) que contenen a la recta r.

       

     D'aquests plans volem el que sigui paral·lel a la recta r

    Condició de paral·lelisme de recta i pla:

         Una recta de vector director  és paral·lela a un pla de vector normal  si   és perpendicular a , o sigui si el producte escalar d'aquest dos vectors és 0

         Ho podem expressar així:  

                      

                   Es veu la condició en aquest petit dibuix (al vector director de la recta li ha posat )

           En geometria en l'espai és molt important que feu un petit dibuix com aquest. O que agafeu un llapis (recta) i un full (pla) i veieu la situació.          

           Si ho fem amb aquesta condició.

            vector normal del pla:  

            Vector director de la recta s: 

                          

            El pla del faig, amb  és   

                     

              podem multiplicar tota l'equació per 5: 

                       

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------                 

Quan expressem el feix de plans  importa quin pla multipliquem per λ?

En la majoria de cassos no importa. En quins cassos importa?. Veiem un exemple.

Exemple:

Vull el pla que conté la recta i passa pel punt P(2,0,-1)

La solució seria justament el pla     (ja que aquest pla passa pel punt P i, evidentment, conté a la recta)

En aquest cas,  no podríem agafar el faig amb  en el primer pla. 

Veiem que passa si agafem:

O sigui,

ho podem posar a qualsevol dels dos plans excepte en el cas que justament el pla solució sigui un dels que defineixen la recta. En aquest cas  s'ha de posar a l'altre pla. 

És per això que moltes vegades s'usen dos paràmetres diferents, un per a cada cada pla,  encara que en la majoria de cassos amb un és suficient (i queda més senzill).  

Bé, és una mica subtil però espero que ho entengueu.