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5. Classificació sistema d'equacions: Teorema Rouché-Fröbenius

Donat un sistema d'equacions lineals, sigui

    M la matriu associada al sistema

    M' la matriu ampliada

Teorema de Rouché-Frobenius:

cadre englobant fois Si gras espace bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g gras espace gras M gras espace gras pas égal à gras espace bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g gras espace gras M gras apostrophe espace double flèche vers la droite espace sistema gras espace gras incompatible fois Si espace bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g gras espace gras M gras espace gras égal à bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g gras espace gras M gras apostrophe égal à simple r espace espace double flèche vers la droite accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule Si gras espace gras r gras égal à gras nombre gras espace gras d gras apostrophe gras incògnites espace espace double flèche vers la droite espace gras compatible gras espace gras determinat espace fin de cellule ligne cellule Si espace gras r gras inférieur à gras nombre gras espace gras d gras apostrophe gras incògnites espace espace double flèche vers la droite espace gras compatible gras espace gras indeterminat fin de cellule fin de tableau fin fin   

Exemple espace 1

Classifiqueu el sistema: 

début table ligne cellule x moins 2 y plus 3 z égal à 3 fin de cellule ligne cellule 2 x plus y moins z égal à 1 fin de cellule ligne cellule moins x moins 3 y plus 4 z égal à moins 1 fin de cellule fin de table accolade fermée

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada: 

 ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 2 1 cellule moins 1 fin de cellule ligne cellule moins 1 fin de cellule cellule moins 3 fin de cellule 4 fin de table fin table ligne 3 ligne 1 ligne cellule moins 1 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse flèche vers la droite espace espace table ligne blank ligne cellule moins gras 2 f indice 1 plus f indice 2 espace fin d'indice fin de cellule ligne cellule gras espace gras espace gras espace f indice 1 plus f indice 3 fin de cellule fin de table espace ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 0 5 cellule moins 7 fin de cellule ligne 0 cellule moins 5 fin de cellule 7 fin de table fin table ligne 3 ligne cellule moins 5 fin de cellule ligne 2 fin de table fermer la parenthèse espace espace espace espace flèche vers la droite espace espace espace espace table ligne blank ligne blank ligne cellule f indice 2 plus f indice 3 fin de cellule fin de table espace espace ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 0 5 cellule moins 7 fin de cellule ligne 0 0 0 fin de table fin table ligne 3 ligne cellule moins 5 fin de cellule ligne cellule moins 3 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse espace

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

   début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule rang espace simple M égal à 2 espace fin de cellule ligne cellule rang espace simple M apostrophe égal à 3 fin de cellule fin de tableau accolade fermée espace double flèche vers la droite espace gras espace gras Sistema gras espace gras incompatible espace

Exemple espace 2

Classifiqueu el sistema: 

début table ligne cellule x moins 2 y plus 3 z égal à 3 fin de cellule ligne cellule 2 x plus y moins z égal à 1 fin de cellule ligne cellule moins x moins 3 y plus 4 z égal à 2 fin de cellule fin de table accolade fermée

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada: 

 ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 2 1 cellule moins 1 fin de cellule ligne cellule moins 1 fin de cellule cellule moins 3 fin de cellule 4 fin de table fin table ligne 3 ligne 1 ligne 2 fin de table fermer la parenthèse flèche vers la droite espace espace table ligne blank ligne cellule moins gras 2 f indice 1 plus f indice 2 espace fin d'indice fin de cellule ligne cellule gras espace gras espace gras espace f indice 1 plus f indice 3 fin de cellule fin de table espace ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 0 5 cellule moins 7 fin de cellule ligne 0 cellule moins 5 fin de cellule 7 fin de table fin table ligne 3 ligne cellule moins 5 fin de cellule ligne 5 fin de table fermer la parenthèse espace espace espace espace flèche vers la droite espace espace espace espace table ligne blank ligne blank ligne cellule f indice 2 plus f indice 3 fin de cellule fin de table espace espace ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 0 5 cellule moins 7 fin de cellule ligne 0 0 0 fin de table fin table ligne 3 ligne cellule moins 5 fin de cellule ligne 0 fin de table fermer la parenthèse espace

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

   début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule rang espace simple M égal à 2 espace fin de cellule ligne cellule rang espace simple M apostrophe égal à 2 fin de cellule fin de tableau accolade fermée espace double flèche vers la droite espace gras espace Sistema espace compatible gras espace gras espace espace és espace un espace sistema espace de espace 3 espace incògnites deux points espace fin simple x virgule espace simple y virgule espace simple z gras espace gras espace espace espace r a n g espace M égal à r a n g espace M apostrophe égal à 2 espace espace inférieur à espace n o m b r e espace i n c ó g n i t e s espace égal à 3 espace espace espace espace double flèche vers la droite espace bold italic S bold italic i bold italic s bold italic t bold italic e bold italic m bold italic a gras espace bold italic c bold italic o bold italic m bold italic p bold italic a bold italic t bold italic i bold italic b bold italic l bold italic e gras espace bold italic i bold italic n bold italic d bold italic e bold italic t bold italic e bold italic r bold italic m bold italic i bold italic n bold italic a bold italic t espace


Vídeo: Exemple de sistema incompatible (no té solució)


Vídeo: Significat del rang en el  tipus de sistema

  



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