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6. Solucions d'un sistema compatible indeterminat

Farem un exemple de discussió i resolució de sistema compatible indeterminat.

El sistema és:

abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda 3 x menos 2 y más 7 z igual 1 fin celda fila celda x menos 5 y más 2 z igual 8 fin celda fila celda menos 2 x más 10 y menos 4 z igual menos 16 fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha espacio espacio abrir paréntesis tabla fila 3 celda menos 2 fin celda 7 1 fila 1 celda menos 5 fin celda 2 8 fila celda menos 2 fin celda 10 celda menos 4 fin celda celda menos 16 fin celda fin tabla cerrar paréntesis

fixeu-vos que podem intercanviar les dues primeres files (per tal de que el primer element sigui un 1) i fins i tot podem dividir per 2 la tercera fila. D'aquesta manera tenim:

abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 5 fin celda 2 8 fila 3 celda menos 2 fin celda 7 1 fila celda menos 2 fin celda 10 celda menos 4 fin celda celda menos 16 fin celda fin tabla cerrar paréntesis

esglaonant:

abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 5 fin celda 2 8 fila 3 celda menos 2 fin celda 7 1 fila celda menos 2 fin celda 10 celda menos 4 fin celda celda menos 16 fin celda fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 5 fin celda 2 8 fila 0 13 1 celda menos 23 fin celda fila 0 0 0 0 fin tabla cerrar paréntesis

Discussió (classificació):

(Teorema Rouché-Fröbenius)

rang matriu coeficients = rang matriu ampliada = 2 => compatible

rang = 2 < nombre d'incògnites = 3 => compatible indeterminat

les infinites solucions es poden expressar en funció d'1 paràmetre (ja que la diferència entre el nombre d'incògnites i el rang és 1)

Solució:

Començant per la 2a equació:

13y + z = -23

agafarem y com el paràmetre λ

13y + z = -23 => z = -13λ - 23

substituint en la 1a equació x -5y +2z =8 queda:

x - 5λ + 2(-13λ - 23) = 8 => x - 5λ - 26λ - 46 = 8 =>

x = 54 + 31λ

Per tant les solucions són

abrir llaves tabla fila celda negrita x negrita igual negrita 54 negrita más negrita 31 negrita lambda negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio fin celda fila celda negrita y negrita igual negrita lambda negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio fin celda fila celda negrita z negrita igual negrita menos negrita 13 negrita lambda negrita menos negrita 23 fin celda fin tabla cerrar espacio espacio espacio espacio para todo normal lambda pertenece IR

(para todo lambda pertenece normal números reales es llegeix com "per a tot lambda pertanyent als reals", vol dir simplement que lambda pot ser qualsevol nombre real)

o bé les podem expressar com:

paréntesis izquierdo negrita 54 negrita más negrita 31 negrita lambda negrita coma negrita espacio negrita espacio negrita lambda negrita coma negrita espacio negrita menos negrita 13 negrita lambda negrita menos negrita 23 negrita paréntesis derecho

Vídeo   Un altra exemple  de compatible indeterminat :

      https://www.youtube.com/watch?v=0GovaC_0wwE&t=1s


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