Anterior

Exemples

Fem alguns exemples en els que hem de fer alguna cosa més que aplicar les fórmules de derivació. 

a) Com fer les derivades d'arrels no quadrades.       

     Exemple 1

     Derivada de  f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel cinquena de x

     Observació: la fórmula  estil mida 14px y igual arrel quadrada de x espai espai fletxa dreta espai y apòstrof igual fracció numerador 1 entre denominador 2 arrel quadrada de x fi fracció fi estil només és vàlida per arrels quadrades 

      El que fem és que, abans de derivar,  l'arrel la expressem en forma d'exponent:

      f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel cinquena de x igual x elevat a inclinada 1 cinquè fi elevat

     i ara ja apliquem la fórmula y igual x elevat a n espai espai fletxa dreta espai y apòstrof igual n x elevat a n menys 1 fi elevat

      f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 1 cinquè x elevat a 1 cinquè menys 1 fi elevat igual 1 cinquè x elevat a fracció numerador menys 4 entre denominador 5 fi fracció fi elevat igual 1 cinquè per fracció 1 entre x elevat a estil mostrar inclinada fracció 4 entre 5 fi estil fi elevat igual fracció numerador 1 entre denominador 5 arrel cinquena de x elevat a 4 fi arrel fi fracció 

        

b) Simplificar el càlcul d'una derivada.

   Veiem alguns exemples

   Exemple 1

   Derivada de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 per x elevat a 5

  •  Ho podem veure com un producte i aplicar la fórmula de la derivada d'un producte

                f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 0 per x elevat a 5 més 3 per 5 x elevat a 4 igual 15 x elevat a 4

  •  Aplicant que f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual k per u parèntesi esquerre x parèntesi dret espai espai espai espai fletxa dreta espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual k per u apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret    on k és un nombre

                f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 per x elevat a 5 espai espai fletxa dreta espai espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 per 5 x elevat a 4 igual 15 x elevat a 4                                           

   Exemple 2

   Derivada de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció 1 entre x elevat a 4

   Ho podem fer de dues maneres:

  • Considerant que és un quocient  

                     f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 0 per x elevat a 4 menys 1 per 4 x al cub entre denominador obre parèntesis x elevat a 4 tanca parèntesis al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 4 x al cub entre denominador x elevat a 8 fi fracció igual fracció numerador menys 4 entre denominador x elevat a 5 fi fracció

  • (Recomanable)  Tenint en compte que fracció 1 entre x elevat a n igual x elevat a menys n fi elevat      

                  f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció 1 entre x elevat a 4 igual x elevat a menys 4 fi elevat espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual menys 4 x elevat a menys 5 fi elevat igual fracció numerador menys 4 entre denominador x elevat a 5 fi fracció   

 Com podeu veure aquesta segona forma és molt més pràctica.   


b) Simplificar el resultat de la derivada

    Veurem especialment el cas de la derivada d'un quocient de polinomis.

    Exemple

    Derivada de:  f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 5 menys 2 x entre denominador 1 menys x fi fracció

    La derivada és:

    f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador menys 2 per parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret menys parèntesi esquerre 5 menys 2 x parèntesi dret per negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret entre denominador parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 2 més 2 x més 5 menys 2 x entre denominador parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador 3 entre denominador parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat fi fracció

     Observacions: 

     · La derivada del denominador és -1 i  per indicar que multiplica al numerador 5-2x hem de posar:

         parèntesi esquerre 5 menys 2 x parèntesi dret per negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret

        És incorrecte escriure parèntesi esquerre 5 menys 2 x parèntesi dret per negreta menys negreta 1

        En un producte , sempre que el segon factor sigui negatiu ho hem d'escriure entre parèntesis

        Per exemple, és incorrecte 4 per menys 3, s'ha d'escriure:  4 per parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret.

        Es pot obviar el puntet (però no els parèntesis!): 4 parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret

        Sí és correcte escriure  menys 4 per 3                       

   · Atenció amb el signe menys que afecta a tot el 2n terme del numerador:    menys 2 per parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret negreta menys parèntesi esquerre 5 menys 2 x parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret 

      (En aquest cas aquest signe negreta menys contrarestarà el (-1) i  en el numerador ens quedarà  menys 2 per parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret més 5 menys 2 x           

   · El denominador de la derivada parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat, en principi, no cal desenvolupar-lo.

     Però si ens interessa desenvolupar-lo tindrem en compta que parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat igual 1 menys 2 x més x al quadrat      

Anterior