LL3_Derivades

Resum

Pendent d'una recta

El pendent d'una recta és la tangent de l'angle que la recta forma amb l'eix positiu d'abscisses.

Equació d'una recta

L'equació d'una recta amb pendent m i que passa pel punt (x_0,y₀) és:

Taxa de variació mitjana

La taxa de variació mitjana de la funció f entre a i b, amb a<b, és el quocient entre la variació de f(x) i la de x al interval [a,b]

Interpretació geomètrica:

és el pendent de la recta secant a la gràfica de la funció pels punts

Derivada d'una funció en un punt

La derivada d'una funció en el punt d'abscissa x=a és

Interpretació geomètrica:

és el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt

Equació de la recta tangent

L'equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt és: 

Taxa de variació mitjana

Definició

Sigui una funció f(x) i dos punts A=(a,f(a)) i B=(b,f(b)) de la seva gràfica

La taxa de variació mitjana d'una funció f(x) entre dos valors x=a i x=b ( amb a<b)  és:

Interpretació geomètrica

Si fem un gràfic de la situació veiem que  TMV[a,b] és el pendent de la recta secant que passa pels punts A=(a,f(a)) i B=(b,f(b))

pendent de la recta secant

Exemple

.

Volem calcular la taxa de variació mitjana entre els valors x= -2 i  x=3

Derivada d'una funció en un punt

Definició

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és

Interpretació geomètrica

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és el pendent de la recta tangent a la gràfica en aquest punt.

Imaginem una funció f(x) i un punt de la gràfica d'aquesta funció (a, f(a)) on hi hagi una única recta tangent. Sigui  l'equació d'aquesta recta tangent.

Aleshores 

Exemple:

Trobeu el pendent de la recta tangent en el punt de la funció d'abscissa x=-1, i l'equació de la recta tangent

Punt

El punt és

Per tant,  el punt és  

Pendent

Calculem   

Avaluem la derivada en x=-1:        

Per tant , el pendent és -2

Equació de la recta tangent:
                                                

                                     O bé:                             

Fórmules de derivades

En aquest capítol, considerem els subcapítols: 

- Derivades de funcions elementals

- Derivades de funcions compostes.

Són funcions elementals, per exemple:   f(x)=3x, f(x)=x⁵, f(x)=e^x, f(x)=ln x, ....... 

Són funció compostes, per exemple:  f(x)=(3x+1)⁵, f(x)=e^3x, f(x)=ln (2x+1),.......

Derivada de funcions elementals

Fórmules:

Aquí podeu veure uns quants exemples:  

Exemples derivades funcions elementals

Derivada de funcions compostes

Per derivar una funció composta s'aplica la Regla de la cadena: 

però a la pràctica el que fem és  aplicar les fórmules de derivades. 

Fórmules:

Aquí podeu veure uns quants exemples:  

Exemples derivades funcions compostes

Funció derivada i operacions

Derivada de la suma.

Exemple.

Derivada de la diferència.

Exemple.

Derivada del producte

Exemple.

Derivada del quocient

Exemple.

Com calcular derivades?

a) Com calculem una derivada?  Aplicant la fórmula que correspongui    

    Si mireu en algun llibre com fa el càlcul de derivades, podreu veure que fa algun exemple aplicant la definició de derivada.  Però aquesta forma de calcular la derivada és molt poc pràctica. Nosaltres el càlcul de derivades ja sempre ho farem aplicant la fórmula que correspongui:      

• Derivada de funcions elementals
• Derivada de funcions compostes

    En aquest exemple 2 : 

    que en el llibre ho fa amb la definició , ho farem directament: sabem (fórmula) que la derivada de 3x és 3 i la derivada de x² és 2x, per tant: 

b) Quina fórmula haig d'aplicar?    En general, les que s'indiquen en Derivada de funcions compostes

Exemple 1

 Calculeu la derivada de

   hauré d'aplicar la fórmula:

    Per tant

    un error freqüent és no afegir aquest  3 (que és la derivada de 3x+1) perquè mireu la fórmula

    però en aquest cas no podem aplicar aquesta fórmula ja que la nostra funció no és del tipus f(x)=xⁿ

Exemple 2

Calculeu la derivada de

   hauré d'aplicar la fórmula:

    Per tant

    un error freqüent és no afegir en el numerador -3x² (que és la derivada de 1-x³). Aquest error ho feu perquè mireu la fórmula

    però en aquest cas no podem aplicar aquesta fórmula que només serveix per a  f(x)=ln x

Vídeo 1

En aquest vídeo podeu veure alguns exemples de càlcul de derivades: 

Vídeo 2

 En aquest vídeo de youtube teniu alguns exemples de derivades senzilles (i fixeu-vos que abaix del vídeo teniu proposats altres vídeos per si voleu practicar més. 

Recta tangent a la funció en un punt

Equació de la recta tangent a la funció en un punt

Volem trobar l'equació de la recta tangent a una funció f(x) en un punt de la funció d'abscissa x=a

L'equació d'aquesta recta és:

Per tant, hem de calcular:

1. El punt (a, f(a))

    Les coordenades dels punts d'una funció sempre són de la forma (x,f(x)

    Per tant, per trobar el punt que té primera coordenada x=a, substituïm x=a  f(x), obtenint f(a) que serà la segona coordenada   

    El punt (a,f(a)) és el  punt de tangència. Aquest punt serà de la gràfica de f(x) i també un punt de la recta tangent.

2. Trobar el pendent m

     Trobem la derivada de a funció f'(x) i substituïm per x=a

Exemple

Volem trobar l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció

1. Trobem el punt de tangència  

             Punt

2. Pendent

      Recta tangent:

o bé:

Per tant l'equació de la recta tangent és

Veiem aquest resultat gràficament

Exemples

Fem alguns exemples en els que hem de fer alguna cosa més que aplicar les fórmules de derivació. 

a) Com fer les derivades d'arrels no quadrades.       

     Exemple 1

     Derivada de  

     Observació: la fórmula   només és vàlida per arrels quadrades 

      El que fem és que, abans de derivar,  l'arrel la expressem en forma d'exponent:

     i ara ja apliquem la fórmula 

b) Simplificar el càlcul d'una derivada.

   Veiem alguns exemples

   Exemple 1

   Derivada de

•  Ho podem veure com un producte i aplicar la fórmula de la derivada d'un producte

•  Aplicant que     on k és un nombre

   Exemple 2

   Derivada de

   Ho podem fer de dues maneres:

• Considerant que és un quocient  

• (Recomanable)  Tenint en compte que       

 Com podeu veure aquesta segona forma és molt més pràctica.   

b) Simplificar el resultat de la derivada

    Veurem especialment el cas de la derivada d'un quocient de polinomis.

    Exemple

    Derivada de: 

    La derivada és:

     Observacions: 

     · La derivada del denominador és -1 i  per indicar que multiplica al numerador 5-2x hem de posar:

        És incorrecte escriure

        En un producte , sempre que el segon factor sigui negatiu ho hem d'escriure entre parèntesis

        Per exemple, és incorrecte , s'ha d'escriure:  .

        Es pot obviar el puntet (però no els parèntesis!):

        Sí és correcte escriure                         

   · Atenció amb el signe menys que afecta a tot el 2n terme del numerador:     

      (En aquest cas aquest signe  contrarestarà el (-1) i  en el numerador ens quedarà            

   · El denominador de la derivada , en principi, no cal desenvolupar-lo.

     Però si ens interessa desenvolupar-lo tindrem en compta que