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1. Classificació d'un sistema d'equacions: Teorema de Rouché-Frobenius

Donem un criteri per classificar un sistema d'equacions lineals.

Donat un sistema d'equacions lineals, sigui

    M la matriu associada al sistema

    M' la matriu ampliada

Donem un criteri per classificar un sistema d'equacions lineals.

Teorema de Rouché-Frobenius:

cadre englobant fois Si gras espace bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g gras espace gras M gras espace gras pas égal à gras espace bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g gras espace gras M gras apostrophe espace double flèche vers la droite espace sistema gras espace gras incompatible fois Si espace bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g gras espace gras M gras espace gras égal à bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g gras espace gras M gras apostrophe égal à simple r espace espace double flèche vers la droite accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule Si gras espace gras r gras égal à gras nombre gras espace gras d gras apostrophe gras incògnites espace espace double flèche vers la droite espace gras compatible gras espace gras determinat espace fin de cellule ligne cellule Si espace gras r gras inférieur à gras nombre gras espace gras d gras apostrophe gras incògnites espace espace double flèche vers la droite espace gras compatible gras espace gras indeterminat fin de cellule fin de tableau fin fin  Exemples:   

Exemple espace 1

Classifiqueu el sistema: 

début table ligne cellule x moins 2 y plus 3 z égal à 3 fin de cellule ligne cellule 2 x plus y moins z égal à 1 fin de cellule ligne cellule moins x moins 3 y plus 4 z égal à moins 1 fin de cellule fin de table accolade fermée

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada: 

 ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 2 1 cellule moins 1 fin de cellule ligne cellule moins 1 fin de cellule cellule moins 3 fin de cellule 4 fin de table fin table ligne 3 ligne 1 ligne cellule moins 1 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse flèche vers la droite espace espace table ligne blank ligne cellule moins gras 2 f indice 1 plus f indice 2 espace fin d'indice fin de cellule ligne cellule gras espace gras espace gras espace f indice 1 plus f indice 3 fin de cellule fin de table espace ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 0 5 cellule moins 7 fin de cellule ligne 0 cellule moins 5 fin de cellule 7 fin de table fin table ligne 3 ligne cellule moins 5 fin de cellule ligne 2 fin de table fermer la parenthèse espace espace espace espace flèche vers la droite espace espace espace espace table ligne blank ligne blank ligne cellule f indice 2 plus f indice 3 fin de cellule fin de table espace espace ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 0 5 cellule moins 7 fin de cellule ligne 0 0 0 fin de table fin table ligne 3 ligne cellule moins 5 fin de cellule ligne cellule moins 3 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse espace

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

   début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule rang espace simple M égal à 2 espace fin de cellule ligne cellule rang espace simple M apostrophe égal à 3 fin de cellule fin de tableau accolade fermée espace double flèche vers la droite espace gras espace gras Sistema gras espace gras incompatible espace

Exemple espace 2

Classifiqueu el sistema: 

début table ligne cellule x moins 2 y plus 3 z égal à 3 fin de cellule ligne cellule 2 x plus y moins z égal à 1 fin de cellule ligne cellule moins x moins 3 y plus 4 z égal à 2 fin de cellule fin de table accolade fermée

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada: 

 ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 2 1 cellule moins 1 fin de cellule ligne cellule moins 1 fin de cellule cellule moins 3 fin de cellule 4 fin de table fin table ligne 3 ligne 1 ligne 2 fin de table fermer la parenthèse flèche vers la droite espace espace table ligne blank ligne cellule moins gras 2 f indice 1 plus f indice 2 espace fin d'indice fin de cellule ligne cellule gras espace gras espace gras espace f indice 1 plus f indice 3 fin de cellule fin de table espace ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 0 5 cellule moins 7 fin de cellule ligne 0 cellule moins 5 fin de cellule 7 fin de table fin table ligne 3 ligne cellule moins 5 fin de cellule ligne 5 fin de table fermer la parenthèse espace espace espace espace flèche vers la droite espace espace espace espace table ligne blank ligne blank ligne cellule f indice 2 plus f indice 3 fin de cellule fin de table espace espace ouvrir la parenthèse trait à droite englobant table ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule 3 ligne 0 5 cellule moins 7 fin de cellule ligne 0 0 0 fin de table fin table ligne 3 ligne cellule moins 5 fin de cellule ligne 0 fin de table fermer la parenthèse espace

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

   début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule rang espace simple M égal à 2 espace fin de cellule ligne cellule rang espace simple M apostrophe égal à 2 fin de cellule fin de tableau accolade fermée espace double flèche vers la droite espace gras espace Sistema espace compatible


     i el nombre de incógnites, x, y, z és 3  

   Per tant: 

     rango 2 < 3 nombre incógnites      Sistema compatible indeterminat

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