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3. Solucions d'un sistema compatible indeterminat

Discussió i resolució de sistema compatible indeterminat.

Exemple 1

début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule x plus 2 y moins z égal à 3 fin de cellule ligne cellule moins x plus 3 y plus 4 z égal à moins 1 fin de cellule ligne cellule 2 x moins y moins 5 z égal à 4 fin de cellule fin de tableau accolade fermée double flèche vers la droite espace espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule 3 ligne cellule moins 1 fin de cellule 3 4 cellule moins 1 fin de cellule ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule cellule moins 5 fin de cellule 4 fin de table fermer la parenthèse

 Mètode de Gauss. Esglaonem: 

 espace espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule 3 ligne cellule moins 1 fin de cellule 3 4 cellule moins 1 fin de cellule ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule cellule moins 5 fin de cellule 4 fin de table fermer la parenthèse espace espace espace flèche vers la droite espace espace table ligne blank ligne cellule f indice 2 plus f indice 1 fin de cellule ligne cellule f indice 3 moins 2 f indice 1 fin de cellule fin de table espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule 3 ligne 0 5 3 2 ligne 0 cellule moins 5 fin de cellule cellule moins 3 fin de cellule cellule moins 2 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse espace espace flèche vers la droite espace table ligne blank ligne blank ligne cellule f indice 3 plus f indice 2 fin de cellule fin de table espace ouvrir la parenthèse table ligne 1 2 cellule moins 1 fin de cellule 3 ligne 0 5 3 2 ligne 0 0 0 0 fin de table fermer la parenthèse

Discussió (classificació):

(Teorema Rouché-Fröbenius)

rang matriu coeficients = rang matriu ampliada = 2 => compatible

rang = 2 < nombre d'incògnites = 3 => compatible indeterminat

les infinites solucions es poden expressar en funció d'1 paràmetre (ja que la diferència entre el nombre d'incògnites i el rang és 1)

Solució:

Començant per la 2a equació:

5 y plus 3 z égal à 2

agafarem z com el paràmetre λ    z= λ 

5 y plus 3 lambda égal à 2 5 y égal à 2 moins 3 lambda espace espace espace espace gras espace bold italic y gras égal à gras 2 sur gras 5 gras moins gras 3 sur gras 5 bold italic lambda

substituint en la 1a equació début de style de taille 14px x plus 2 y moins z égal à 3 fin de style tenim:

x plus 2 ouvrir la parenthèse 2 sur 5 moins numérateur de la fraction 3 lambda au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction fermer la parenthèse moins lambda égal à 3 x plus 4 sur 5 moins numérateur de la fraction 6 lambda au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction moins lambda égal à 3 x égal à 3 moins 4 sur 5 plus numérateur de la fraction 6 lambda au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction plus lambda espace espace espace espace bold italic x gras égal à gras 11 sur gras 5 gras plus gras 11 sur gras 5 bold italic lambda

Per tant les solucions són

accolade ouverte table ligne cellule gras x gras égal à gras 11 sur gras 5 gras plus gras 11 sur gras 5 gras lambda gras espace gras espace gras espace gras espace fin de cellule ligne cellule gras y gras égal à gras 2 sur gras 5 gras moins gras 3 sur gras 5 gras lambda gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace fin de cellule ligne cellule gras z gras égal à gras lambda gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace fin de cellule fin de table fin espace espace espace espace pour tous simple lambda appartient à IR


(pour tous lambda appartient à simple nombres réels es llegeix "per a tot lambda pertanyent als reals", vol dir simplement que lambda pot ser qualsevol nombre real)

Vídeo

En aquest vídeo podeu veure la resolució d'aquest mateix exercici:  


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