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3. Solucions d'un sistema compatible indeterminat

Discussió i resolució de sistema compatible indeterminat.

Exemple 1

abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda x más 2 y menos z igual 3 fin celda fila celda menos x más 3 y más 4 z igual menos 1 fin celda fila celda 2 x menos y menos 5 z igual 4 fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha espacio espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda 3 fila celda menos 1 fin celda 3 4 celda menos 1 fin celda fila 2 celda menos 1 fin celda celda menos 5 fin celda 4 fin tabla cerrar paréntesis

 Mètode de Gauss. Esglaonem: 

 espacio espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda 3 fila celda menos 1 fin celda 3 4 celda menos 1 fin celda fila 2 celda menos 1 fin celda celda menos 5 fin celda 4 fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio espacio flecha derecha espacio espacio tabla fila blank fila celda f subíndice 2 más f subíndice 1 fin celda fila celda f subíndice 3 menos 2 f subíndice 1 fin celda fin tabla espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda 3 fila 0 5 3 2 fila 0 celda menos 5 fin celda celda menos 3 fin celda celda menos 2 fin celda fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio flecha derecha espacio tabla fila blank fila blank fila celda f subíndice 3 más f subíndice 2 fin celda fin tabla espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda 3 fila 0 5 3 2 fila 0 0 0 0 fin tabla cerrar paréntesis

Discussió (classificació):

(Teorema Rouché-Fröbenius)

rang matriu coeficients = rang matriu ampliada = 2 => compatible

rang = 2 < nombre d'incògnites = 3 => compatible indeterminat

les infinites solucions es poden expressar en funció d'1 paràmetre (ja que la diferència entre el nombre d'incògnites i el rang és 1)

Solució:

Començant per la 2a equació:

5 y más 3 z igual 2

agafarem z com el paràmetre λ    z= λ 

5 y más 3 lambda igual 2 5 y igual 2 menos 3 lambda espacio espacio espacio espacio negrita espacio bold italic y negrita igual fracción negrita 2 entre negrita 5 negrita menos fracción negrita 3 entre negrita 5 bold italic lambda

substituint en la 1a equació estilo tamaño 14px x más 2 y menos z igual 3 fin estilo tenim:

x más 2 abrir paréntesis fracción 2 entre 5 menos fracción numerador 3 lambda entre denominador 5 fin fracción cerrar paréntesis menos lambda igual 3 x más fracción 4 entre 5 menos fracción numerador 6 lambda entre denominador 5 fin fracción menos lambda igual 3 x igual 3 menos fracción 4 entre 5 más fracción numerador 6 lambda entre denominador 5 fin fracción más lambda espacio espacio espacio espacio bold italic x negrita igual fracción negrita 11 entre negrita 5 negrita más fracción negrita 11 entre negrita 5 bold italic lambda

Per tant les solucions són

abrir llaves tabla fila celda negrita x negrita igual fracción negrita 11 entre negrita 5 negrita más fracción negrita 11 entre negrita 5 negrita lambda negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio fin celda fila celda negrita y negrita igual fracción negrita 2 entre negrita 5 negrita menos fracción negrita 3 entre negrita 5 negrita lambda negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio fin celda fila celda negrita z negrita igual negrita lambda negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio fin celda fin tabla cerrar espacio espacio espacio espacio para todo normal lambda pertenece IR


(para todo lambda pertenece normal números reales es llegeix "per a tot lambda pertanyent als reals", vol dir simplement que lambda pot ser qualsevol nombre real)

Vídeo

En aquest vídeo podeu veure la resolució d'aquest mateix exercici:  


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