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Resolució d'equacions exponencials 2

  1. Equacions on totes les bases de les potències que surten (on la incògnita està en l'exponent) són reduïbles a una mateixa base
    • Sols hi ha un terme a cada membre de la igualtat.
      Exemples :
      • flèche vers la droite espace espace 5 puissance x au carré plus 1 fin de l'exposant égal à 125 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace parenthèse gauche 125 espace égal à 5 au cube parenthèse droite espace espace espace espace espace espace espace R e s o l u c i ó deux points espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 5 puissance x au carré plus 1 fin de l'exposant égal à 5 au cube espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x au carré plus 1 égal à 3 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x au carré égal à 2 espace espace espace espace flèche vers la droite cadre englobant espace espace x espace égal à plus ou moins racine carrée de 2 espace espace espace fin espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace flèche vers la droite espace espace 2 puissance 1 moins x au carré fin de l'exposant égal à 1 sur 8 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace parenthèse gauche 1 sur 8 espace égal à 2 puissance moins 3 fin de l'exposant parenthèse droite espace espace espace espace espace espace espace R e s o l u c i ó deux points espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 2 puissance 1 moins x au carré fin de l'exposant égal à 2 puissance moins 3 fin de l'exposant espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 1 moins x au carré égal à moins 3 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x au carré égal à 4 espace espace espace espace flèche vers la droite cadre englobant espace espace x espace égal à plus ou moins 2 espace espace espace fin espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace flèche vers la droite ouvrir la parenthèse 10 puissance X moins 1 fin de l'exposant fermer la parenthèse puissance espace X fin de l'exposant égal à 100 espace espace espace espace espace espace espace parenthèse gauche 100 espace égal à 10 au carré parenthèse droite espace espace espace espace espace espace espace R e s o l u c i ó deux points espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 10 puissance x au carré moins x fin de l'exposant égal à 10 au carré espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x au carré moins x égal à 2 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x au carré moins x moins 2 égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x égal à numérateur de la fraction 1 plus ou moins début de racine carrée de 1 plus 8 fin de racine au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 1 plus ou moins 3 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction flèche vers la droite espace espace cadre englobant table ligne cellule x indice 1 égal à espace 2 fin de cellule ligne cellule espace espace x indice 2 égal à espace moins 1 fin de cellule fin de table fin
        Observem que en tots els casos hem arribat a dues potències amb la mateixa base. Dues potències de la mateixa base són iguals, si són iguals els exponent i això és el que fem per acabar les equacions.


    • Com a mínim en un membre hi ha diverses potències que es sumen i totes tenen la mateixa base. Per resoldre aquestes les reduirem al cas anterior o a una equació de segon grau. La resolució passa per escriure totes les potències amb la mateixa base
      Exemples :

    • gras 2 puissance gras x gras plus gras 3 fin de l'exposant gras moins gras 3 gras fois gras 2 puissance gras x gras égal à gras 40

      Aquest és un exercici tipus. 

    • Un error greu seria sumar els exponents (fixeu-vos que la propietat és "producte de potencies de la mateixa base es sumen exponents  am·an=am+n  però no hi ha cap propietat de la suma de potències (encara que tinguin el mateix exponent!). 

      Per fer aquests tipus d'exercici tindrem en compte les propietats:

                        cadre englobant a puissance n plus m fin de l'exposant égal à a puissance n fois a puissance m a puissance n moins m fin de l'exposant égal à a puissance n sur a puissance m fin

      Per tant tenim, 

           2 puissance x fois 2 au cube moins 3 fois 2 puissance x égal à 40

          Per simplificar fem el canvi:  t égal à 2 puissance x

           t fois 8 moins 3 fois t égal à 40 8 t moins 3 t égal à 40 espace espace espace flèche vers la droite 5 t égal à 40 espace espace flèche vers la droite t égal à 40 sur 5 égal à 8

          t égal à 8 2 puissance x égal à 2 au cube espace espace espace flèche vers la droite espace bold italic x gras égal à gras 3    

      gras 5 puissance gras x gras plus gras 1 fin de l'exposant gras plus gras 5 puissance gras x gras moins gras 2 fin de l'exposant gras plus gras 5 puissance gras x gras égal à gras 151 sur gras 25

      Aquest exercici és del mateix tipus que l'anterior.    

      Tenim:   

         5 puissance x plus 1 fin de l'exposant égal à 5 puissance x fois 5 puissance 1 

         5 puissance x moins 2 fin de l'exposant égal à 5 puissance x fois 5 puissance moins 2 fin de l'exposant égal à 5 puissance x sur 5 au carré

        Així doncs l'equació queda:

         5 puissance x plus 1 fin de l'exposant plus 5 puissance x moins 2 fin de l'exposant plus 5 puissance x égal à 151 sur 25
          5 puissance x fois 5 puissance 1 plus 5 puissance x sur 5 au carré plus 5 puissance x égal à 151 sur 25
        Fem el canvi:   t égal à 5 puissance x


          5 t plus t sur 25 plus t égal à 151 sur 25 numérateur de la fraction 5 fois 25 t plus t plus 25 t au-dessus du dénominateur trait barré ascendant sur 25 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 151 au-dessus du dénominateur trait barré ascendant sur 25 fin de la fraction parenthèse gauche 125 plus 1 plus 25 parenthèse droite t égal à 151 espace espace flèche vers la droite 151 t égal à 151 espace flèche vers la droite espace espace t égal à 1 

          Per tant,  espace 5 puissance x espace égal à 1 espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace gras espace bold italic x gras égal à gras 0


      gras 9 puissance gras x gras moins gras 4 gras fois gras 3 puissance gras x gras plus gras 3 gras égal à gras 0

      Aquest és un altre exercici tipus.

      Veiem que tenim un terme amb 3 puissance x i altre terme ouvrir la parenthèse 3 au carré fermer la parenthèse puissance x o el que és el mateix, ouvrir la parenthèse 3 puissance x fermer la parenthèse au carré , per tant l'equació és: 

          ouvrir la parenthèse espace 3 puissance x fermer la parenthèse au carré espace moins 4 fois 3 puissance x plus 3 égal à 0

         Fem el canvi:    t égal à 3 puissance x   

          t au carré moins 4 t plus 3 égal à 0

          t égal à numérateur de la fraction 4 plus ou moins début de racine carrée de 4 au carré moins 4 fois 1 fois 3 fin de racine au-dessus du dénominateur 2 fois 1 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 4 plus ou moins début de racine carrée de 16 moins 12 fin de racine au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 4 plus ou moins racine carrée de 4 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 4 plus ou moins 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à table ligne cellule points de suspension obliques montant vers la droite numérateur de la fraction 4 plus 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à 6 sur 2 égal à 3 fin de cellule ligne cellule points de suspension obliques descendant vers la droite numérateur de la fraction 4 moins 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à 2 sur 2 égal à 1 fin de cellule fin de table

         Hem trobat dos valors per a t i recordem que   t égal à 3 puissance x  

         Obtenim les dues solucions:  

           3 puissance x égal à 3 espace espace double flèche vers la droite espace bold italic x gras égal à gras 1 

           i

           3 puissance x égal à 1 espace espace espace double flèche vers la droite gras espace bold italic x gras égal à gras 0   


      flèche vers la droite espace espace 3 puissance x plus 3 puissance x plus 1 fin de l'exposant plus 3 puissance x plus 2 fin de l'exposant égal à 9477 espace espace espace parenthèse gauche t o t e s espace l e s espace p o t è n c i e s espace t e n e n espace b a s e espace 3 parenthèse droite espace espace espace espace espace espace R e s o l u c i ó deux points espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 3 puissance x plus 3 fois 3 puissance x plus 3 au carré fois 3 puissance x égal à 9477 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace parenthèse gauche 1 plus 3 plus 9 parenthèse droite fois 3 puissance x égal à 9477 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 13 fois 3 puissance x égal à 9477 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 13 fois 3 puissance x égal à 13 fois 3 puissance 6 flèche vers la droite 3 puissance x égal à numérateur de la fraction trait barré ascendant sur 13 fois 3 puissance 6 au-dessus du dénominateur trait barré ascendant sur 13 fin de la fraction flèche vers la droite espace cadre englobant espace x égal à 6 espace fin flèche vers la droite espace 2 puissance 2 x fin de l'exposant moins 20 fois 2 puissance x moins 384 égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace parenthèse gauche t o t e s espace l e s espace p o t è n c i e s espace t e n e n espace b a s e espace 2 parenthèse droite espace espace espace espace espace R e s o l u c i ó deux points espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace ouvrir la parenthèse espace 2 puissance x fermer la parenthèse au carré moins 20 fois 2 puissance x moins 384 égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace F e m espace e l espace c a n v i espace d e espace v a r i a b l e espace espace 2 puissance x égal à t espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace t au carré moins 20 t moins 384 égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace t égal à numérateur de la fraction 20 plus ou moins début de racine carrée de 400 plus 1536 fin de racine au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 20 plus ou moins 44 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction flèche vers la droite table ligne cellule t indice 1 égal à 32 espace fin de cellule ligne cellule t indice 2 égal à moins 12 fin de cellule fin de table espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace A r a espace d e s f e m espace e l espace c a n v i espace d e espace v a r i a b l e deux points espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace P e r espace t égal à 32 flèche vers la droite 2 puissance x égal à 32 flèche vers la droite 2 puissance x égal à 2 puissance 5 espace espace flèche vers la droite espace cadre englobant espace x égal à 5 espace fin espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace P e r espace t égal à moins 12 flèche vers la droite 2 puissance x égal à moins 12 flèche vers la droite N O espace h i espace h a espace s o l u c i ó espace j a espace q u e espace 2 puissance x supérieur à 0

    • Com a mínim en un membre hi ha diverses potències que es sumen i totes les bases són potències del mateix nombre. Per resoldre aquestes les reduirem a una equació de segon grau.

  2. Equacions on les bases de les potències que surten NO són reduïbles a una única base. Per resoldre aquestes cal utilitzar els logaritmes.
    Per tant les reservem per més endavant.

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