Resolució d'equacions exponencials 2


  1. Equacions on totes les bases de les potències que surten (on la incògnita està en l'exponent) són reduïbles a una mateixa base
    • Sols hi ha un terme a cada membre de la igualtat.
      Exemples :
      • fletxa dreta espai espai 5 elevat a x al quadrat més 1 fi elevat igual 125 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre 125 espai igual 5 al cub parèntesi dret
espai espai espai espai espai espai espai R e s o l u c i ó dos punts
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 5 elevat a x al quadrat més 1 fi elevat igual 5 al cub espai
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat més 1 igual 3 espai espai
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat igual 2 espai espai espai espai fletxa dreta envoltori caixa espai espai x espai igual més-menys arrel quadrada de 2 espai espai espai fi envoltori espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai
fletxa dreta espai espai 2 elevat a 1 menys x al quadrat fi elevat igual fracció 1 entre 8 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre fracció 1 entre 8 espai igual 2 elevat a menys 3 fi elevat parèntesi dret
espai espai espai espai espai espai espai R e s o l u c i ó dos punts
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 2 elevat a 1 menys x al quadrat fi elevat igual 2 elevat a menys 3 fi elevat espai
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 1 menys x al quadrat igual menys 3 espai espai
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat igual 4 espai espai espai espai fletxa dreta envoltori caixa espai espai x espai igual més-menys 2 espai espai espai fi envoltori espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai
fletxa dreta obre parèntesis 10 elevat a X menys 1 fi elevat tanca parèntesis elevat a espai X fi elevat igual 100 espai espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre 100 espai igual 10 al quadrat parèntesi dret
espai espai espai espai espai espai espai R e s o l u c i ó dos punts
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 10 elevat a x al quadrat menys x fi elevat igual 10 al quadrat espai
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat menys x igual 2 espai espai
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat menys x menys 2 igual 0 espai espai espai espai
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x igual fracció numerador 1 més-menys arrel quadrada de 1 més 8 fi arrel entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 1 més-menys 3 entre denominador 2 fi fracció fletxa dreta espai espai envoltori caixa taula fila cel·la x subíndex 1 igual espai 2 fi cel·la fila cel·la espai espai x subíndex 2 igual espai menys 1 fi cel·la fi taula fi envoltori
        Observem que en tots els casos hem arribat a dues potències amb la mateixa base. Dues potències de la mateixa base són iguals, si són iguals els exponent i això és el que fem per acabar les equacions.


    • Com a mínim en un membre hi ha diverses potències que es sumen i totes tenen la mateixa base. Per resoldre aquestes les reduirem al cas anterior o a una equació de segon grau. La resolució passa per escriure totes les potències amb la mateixa base
      Exemples :
    • negreta 2 elevat a negreta x negreta més negreta 3 fi elevat negreta menys negreta 3 negreta per negreta 2 elevat a negreta x negreta igual negreta 40

      Aquest és un exercici tipus. 

    • Un error greu seria sumar els exponents (fixeu-vos que la propietat és "producte de potencies de la mateixa base es sumen exponents  am·an=am+n  però no hi ha cap propietat de la suma de potències (encara que tinguin el mateix exponent!). 

      Per fer aquests tipus d'exercici tindrem en compte les propietats:

                        envoltori caixa a elevat a n més m fi elevat igual a elevat a n per a elevat a m
a elevat a n menys m fi elevat igual fracció a elevat a n entre a elevat a m fi envoltori

      Per tant tenim, 

           2 elevat a x per 2 al cub menys 3 per 2 elevat a x igual 40

          Per simplificar fem el canvi:  t igual 2 elevat a x

           t per 8 menys 3 per t igual 40
8 t menys 3 t igual 40 espai espai espai fletxa dreta 5 t igual 40 espai espai fletxa dreta t igual fracció 40 entre 5 igual 8

          t igual 8
2 elevat a x igual 2 al cub espai espai espai fletxa dreta espai bold italic x negreta igual negreta 3
   

      negreta 5 elevat a negreta x negreta més negreta 1 fi elevat negreta més negreta 5 elevat a negreta x negreta menys negreta 2 fi elevat negreta més negreta 5 elevat a negreta x negreta igual fracció negreta 151 entre negreta 25

      Aquest exercici és del mateix tipus que l'anterior.    

      Tenim:   

         5 elevat a x més 1 fi elevat igual 5 elevat a x per 5 elevat a 1 

         5 elevat a x menys 2 fi elevat igual 5 elevat a x per 5 elevat a menys 2 fi elevat igual fracció 5 elevat a x entre 5 al quadrat

        Així doncs l'equació queda:

         5 elevat a x més 1 fi elevat més 5 elevat a x menys 2 fi elevat més 5 elevat a x igual fracció 151 entre 25
          5 elevat a x per 5 elevat a 1 més fracció 5 elevat a x entre 5 al quadrat més 5 elevat a x igual fracció 151 entre 25
        Fem el canvi:   t igual 5 elevat a x


          5 t més fracció t entre 25 més t igual fracció 151 entre 25
fracció numerador 5 per 25 t més t més 25 t entre denominador ratllat diagonal cap amunt 25 fi fracció igual fracció numerador 151 entre denominador ratllat diagonal cap amunt 25 fi fracció
parèntesi esquerre 125 més 1 més 25 parèntesi dret t igual 151 espai espai fletxa dreta 151 t igual 151 espai fletxa dreta espai espai t igual 1 

          Per tant,  espai 5 elevat a x espai igual 1 espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai negreta espai bold italic x negreta igual negreta 0


      negreta 9 elevat a negreta x negreta menys negreta 4 negreta per negreta 3 elevat a negreta x negreta més negreta 3 negreta igual negreta 0

      Aquest és un altre exercici tipus.

      Veiem que tenim un terme amb 3 elevat a x i altre terme obre parèntesis 3 al quadrat tanca parèntesis elevat a x o el que és el mateix, obre parèntesis 3 elevat a x tanca parèntesis al quadrat , per tant l'equació és: 

          obre parèntesis espai 3 elevat a x tanca parèntesis al quadrat espai menys 4 per 3 elevat a x més 3 igual 0

         Fem el canvi:    t igual 3 elevat a x   

          t al quadrat menys 4 t més 3 igual 0

          t igual fracció numerador 4 més-menys arrel quadrada de 4 al quadrat menys 4 per 1 per 3 fi arrel entre denominador 2 per 1 fi fracció igual fracció numerador 4 més-menys arrel quadrada de 16 menys 12 fi arrel entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 4 més-menys arrel quadrada de 4 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 4 més-menys 2 entre denominador 2 fi fracció igual taula fila cel·la punts suspensius inclinats cap amunt fracció numerador 4 més 2 entre denominador 2 fi fracció igual fracció 6 entre 2 igual 3 fi cel·la fila cel·la punts suspensius inclinats cap avall fracció numerador 4 menys 2 entre denominador 2 fi fracció igual fracció 2 entre 2 igual 1 fi cel·la fi taula

         Hem trobat dos valors per a t i recordem que   t igual 3 elevat a x  

         Obtenim les dues solucions:  

           3 elevat a x igual 3 espai espai fletxa doble dreta espai bold italic x negreta igual negreta 1 

           i

           3 elevat a x igual 1 espai espai espai fletxa doble dreta negreta espai bold italic x negreta igual negreta 0   


      fletxa dreta espai espai 3 elevat a x més 3 elevat a x més 1 fi elevat més 3 elevat a x més 2 fi elevat igual 9477 espai espai espai parèntesi esquerre t o t e s espai l e s espai p o t è n c i e s espai t e n e n espai b a s e espai 3 parèntesi dret
espai espai espai espai espai espai R e s o l u c i ó dos punts
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 elevat a x més 3 per 3 elevat a x més 3 al quadrat per 3 elevat a x igual 9477 espai
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre 1 més 3 més 9 parèntesi dret per 3 elevat a x igual 9477
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 13 per 3 elevat a x igual 9477
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 13 per 3 elevat a x igual 13 per 3 elevat a 6 fletxa dreta 3 elevat a x igual fracció numerador ratllat diagonal cap amunt 13 per 3 elevat a 6 entre denominador ratllat diagonal cap amunt 13 fi fracció fletxa dreta espai envoltori caixa espai x igual 6 espai fi envoltori
fletxa dreta espai 2 elevat a 2 x fi elevat menys 20 per 2 elevat a x menys 384 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre t o t e s espai l e s espai p o t è n c i e s espai t e n e n espai b a s e espai 2 parèntesi dret
espai espai espai espai espai R e s o l u c i ó dos punts
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai obre parèntesis espai 2 elevat a x tanca parèntesis al quadrat menys 20 per 2 elevat a x menys 384 igual 0
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai F e m espai e l espai c a n v i espai d e espai v a r i a b l e espai espai 2 elevat a x igual t
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai t al quadrat menys 20 t menys 384 igual 0
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai t igual fracció numerador 20 més-menys arrel quadrada de 400 més 1536 fi arrel entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 20 més-menys 44 entre denominador 2 fi fracció fletxa dreta taula fila cel·la t subíndex 1 igual 32 espai fi cel·la fila cel·la t subíndex 2 igual menys 12 fi cel·la fi taula
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai A r a espai d e s f e m espai e l espai c a n v i espai d e espai v a r i a b l e dos punts
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai P e r espai t igual 32 fletxa dreta 2 elevat a x igual 32 fletxa dreta 2 elevat a x igual 2 elevat a 5 espai espai fletxa dreta espai envoltori caixa espai x igual 5 espai fi envoltori
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai P e r espai t igual menys 12 fletxa dreta 2 elevat a x igual menys 12 fletxa dreta N O espai h i espai h a espai s o l u c i ó espai j a espai q u e espai 2 elevat a x major que 0

    • Com a mínim en un membre hi ha diverses potències que es sumen i totes les bases són potències del mateix nombre. Per resoldre aquestes les reduirem a una equació de segon grau.

  2. Equacions on les bases de les potències que surten NO són reduïbles a una única base. Per resoldre aquestes cal utilitzar els logaritmes.
    Per tant les reservem per més endavant.

En aquest document tens altres exemples d'equacions exponencials resoltes, consulta'l.