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Imatges i antiimatges

Quan tenim una funció i un nombre x es relaciona amb un altre nombre y ho expressem dient y=f(x)

Això ho llegiríem dient que y és la imatge de x per la funció f i també que x és una antiimatge de y per la funció f.

En cas de conèixer l'expressió algebraica de la funció:

  • Si volem calcular una imatge, f(a), coneixem la x i hem de trobar la y. Haurem de substituir la x per a a l'expressió de la funció i fer els càlculs. Tots els valors del domini tenen una i només una imatge.
  • Si volem calcular una antiimatge f-1(b), coneixem la y i volem calcular la x. En aquest cas igualarem l'expressió algebraica a b i aïllarem la x, és a dir caldrà resoldre una equació. Pot ser que un valor no tingui antiimatge o en tingui més d'una.
Exemples
Donada la funció :   f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction x au carré moins 1 au-dessus du dénominateur x plus 2 fin de la fraction    
    Calculem algunes imatges i antiimatges

    •      

    Imatge de 2

          f parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 2 au carré moins 1 au-dessus du dénominateur 2 plus 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 4 moins 1 au-dessus du dénominateur 4 fin de la fraction égal à 3 sur 4

         La imatge de 2 per la funció f és 3/4, i per tant la funció passa pel punt (2, 3/4). 

          I podem dir que la antiimatge de 3/4 és 2.

    Antiimatge de 0

        Per calcular la antiimatge de 0 per f, igualarem a 0 l'expressió i aïllarem la x.

        numérateur de la fraction x au carré moins 1 au-dessus du dénominateur x plus 2 fin de la fraction égal à 0

        Una fracció és 0, si ho és el numerador: 

          x au carré moins 1 égal à 0 fois parenthèse gauche x plus 2 parenthèse droite x au carré moins 1 égal à 0 espace espace espace espace espace espace x au carré égal à 1 espace espace espace espace espace espace x égal à plus ou moins racine carrée de 1 espace espace espace espace espace gras espace bold italic x gras égal à gras plus ou moins gras 1 espace 

        Per tant, el 0 té dues antiimatges: 1 i -1 

                 f parenthèse gauche 1 parenthèse droite égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace i espace espace espace espace espace espace f parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite égal à 0 espace

        i la funció passa pels punts (1,0) i (-1,0)


    Antiimatge de -8
         numérateur de la fraction x au carré moins 1 au-dessus du dénominateur x plus 2 fin de la fraction égal à moins 8 x au carré moins 1 égal à moins 8 fois parenthèse gauche x plus 2 parenthèse droite x au carré moins 1 égal à moins 8 x moins 16 x au carré plus 8 x plus 15 égal à 0 x égal à numérateur de la fraction moins 8 plus ou moins début de racine carrée de 8 au carré moins 4 fois 15 fin de racine au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 8 plus ou moins début de racine carrée de 64 moins 60 fin de racine au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 8 plus ou moins racine carrée de 4 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 8 plus ou moins 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à table ligne cellule points de suspension obliques montant vers la droite espace numérateur de la fraction moins 10 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à moins 5 fin de cellule ligne cellule points de suspension obliques descendant vers la droite numérateur de la fraction moins 6 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à moins 3 fin de cellule fin de table
       Per tant, -8 té dues antiimatges: -5 i 3

        f parenthèse gauche moins 5 parenthèse droite égal à moins 8 espace espace espace espace espace espace espace i espace espace espace espace espace espace f parenthèse gauche moins 3 parenthèse droite égal à moins 8 espace


    Es recomana llegir amb atenció el document " El concepte de funció" on trobareu explicacions i exemples senzills dels primers conceptes de funcions: càlcul d'imatges i antiimatges.

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